Фейнмановские лекции по гравитации

Фейнман начал свою лекцию 14 введением модели сверхзвезды, "которая очень проста, но может, тем не менее, обладать огромным множеством атрибутов реальных процессов. После того, как мы поймём, как обходиться с решением такой простой задачи, мы можем позаботиться об усовершенствованиях в модели.” (Усовершенствования - это учёт влияния электрон-позитронных пар, испускания нейтрино, ядерного горения, вращения, неустойчивостей - будут добавлены позднее в 1963 -64 годах Ибеном [Iben 63], Куртисом Майклом [Mich 63], Фаулером [Fowl 64] и Бардиным [Bard 65] при значительных обсуждениях с Фейнманом и постановке им некоторых задач.)

Поскольку цель Фейнмана состояла в изучении эффектов общей теории относительности, его модель сверхзвезды была полностью общерелятивистская, в отличие от предыдущих моделей Хойла - Фаулера, которые были ньютоновыми. С другой стороны, там, где Фаулер и Хойл включили в рассмотрение вклад и газа, и излучения в давление звезды и внутреннюю плотность энергии, Фейнман упрощает модель, игнорируя вклад газа в давление 𝑝_газ и во внутреннюю энергию ε_газ. Это представляется разумным, так как основное внимание Фейнмана сосредоточено на сверхзвезде с массой 𝑀=10⁹𝑀_sun, а Хойл и Фаулер показали, что в ньютоновском пределе сверхзвезды сильно радиационно-доминировали при

β

≡

𝑝_газ

𝑝_{излучение}

=

2ε_газ

ε_{излучение}

=

=

8,6

⎛

⎜

⎝

𝑀_sun

𝑀

⎞½

⎟

⎠

≃

3×10

^-4

⎛

⎜

⎝

10⁹𝑀_sun

𝑀

⎞½

⎟

⎠

.

(П.2)

(Здесь для простоты мы предполагаем, что газ является чистым водородом). Поскольку такие звёзды в большой степени являются конвективными, их энтропия на нуклон есть величина, не зависящая от радиуса, что означает в свою очередь, что величина β есть 8х(Постоянная Больцмана)/(энтропия на нуклон), есть также величина, не зависящая от радиуса; и этот факт остаётся справедливым и для общерелятивисткого случая, как отдавал себе в этом отчёт Фейнман, хотя уравнение (П.2) меняется на множитель порядка единицы.

Пренебрегая вкладом 𝑝_газ и ε_газ, Фейнман приступил в разделе 14.1 и 14.2 лекции 14 к построению общерелятивистских уравнений, описывающих структуру сверхзвёзд, он сообщает, что он проинтегрировал их численно и представил результаты в таблице 14.1. Эта таблица может быть проинтерпретирована с помощью уравнений (14.2.1), в которых параметр Фейнмана τ есть

τ

=

4/3

энтропия на нуклон

=

=

⎛

⎜

⎝

масса покоя нуклона

Постоянная Больцмана

⎞

⎟

⎠

β

6

≃

1800β

,

(П.3)

так как Фейнман использует единицы, в которых масса покоя нуклона и температура 10⁹ °К кладутся равными единице.

При обсуждении моделей Фейнмана и его (неверной) интерпретации их, полезно было бы использовать рисунок П.1. Этот рисунок показывает некоторые признаки семейства моделей сверхзвёзд, которые построил Фейнман (толстая кривая), совместно с их продолжением на ультрарелятивистский режим (верхняя тонкая линия) и их продолжением на почти ньютоновский режим (нижняя тонкая линия) - эти продолжения были вычислены позднее Ибеном [Iben 63], Фаулером [Fowl 64], Бардиным [Bard 65] и Тупером [Тоор 66]. По вертикальной оси откладывается гравитационная энергия связи звезды со знаком ”минус”; по горизонтальной оси откладывается радиус звезды. В практически ньютоновском режиме (затенённая область кривой связи энергии), который Фейнман не исследует, нельзя пренебрегать величинами 𝑝_газ и ε_газ, энергия связи задаётся (как показал Фаулер [Fowl 64], как отклик на "гром среди ясного неба” Фейнмана) следующим тонким балансом между газовым давлением (первым членом) и эффектами общей теории относительности (второй член):

𝑀-𝑀_rest

𝑀_rest

≃-

3β

8

⎛

⎜

⎝

2𝑀

𝑅

⎞

⎟

⎠

+

1,3

⎛

⎜

⎝

2𝑀

𝑅

⎞²

⎟

⎠

.

(П.4)

Здесь 2𝑀 - радиус Шварцшильда чёрной дыры с той же самой массой, что и масса сверхзвезды.

При интерпретации моделей в разделе 14.3 Фейнман начал с того, что спросил об эволюции сверхзвезды, состоящей из фиксированного количества нуклонов (т.е. фиксированной нуклонной массы покоя 𝑀_rest), которая постепенно излучает тепловую энергию, что, тем самым, приводит к уменьшению полной массы 𝑀 и делает звезду более плотно связанной. Он обнаружил странную эволюцию: когда звезда излучает, её радиус увеличивается (движение вниз и направо по толстой кривой на рис. П.1) и её температура в центре уменьшается. Это противоречит поведению большей части других звёзд, которые, когда они излучают, сжимаются и нагреваются, в том случае, если в них не происходит горения термоядерного топлива. (Если вместо того, чтобы иметь дело с полностью релятивистской областью слева от точки минимума кривой связи, Фейнман сохранил бы учёт влияния газа и провёл вычисления в почти ньютоновской области справа, он обнаружил бы противоположное поведение: сверхзвезда должна была бы сжиматься и нагреваться, когда она излучает).