Фейнмановские лекции по гравитации

Рис. П.1. Энергия связи звезды, состоящей из водорода. На вертикальной оси слева отложена отрицательная величина относительной энергии связи, т.е. (𝑀-𝑀_rest)𝑀_rest, где 𝑀 - полная масса звезды и 𝑀

_rest - полная масса покоя всех нуклонов звезды; по горизонтальной (верхней) оси отложен радиус звезды в единицах радиуса Шварцшильда 2𝑀 чёрной дыры с той же самой массой. Масштабы, отложенные на левой оси и верхней оси, справедливы в белой области для сверхзвёзд любой массы, но в (почти ньютоновской) затенённой области только при 𝑀=10⁶𝑀_sun На вертикальной правой оси отложена отрицательная величина от относительной энергии связи в единицах массы Солнца 𝑀_sun

; на нижней горизонтальной оси отложена величина 𝑅/2𝑀, умноженная на отношение β газового давления и полного давления. Правый и нижний масштабы оказываются справедливыми для сверхзвёзд любой массы в почти ньютоновский затенённой области, но они оказываются неверными в полностью релятивистской белой области. Вертикальный масштаб является арктангенсом, т.е. он почти линеен при |(𝑀-𝑀_rest)𝑀_rest|≲1, и логарифмическим при |(𝑀-𝑀

_rest)𝑀_rest|≳1. Толстая часть кривой следует из вычислений Фейнмана, изложенных в лекции 14, тонкие части связаны с работами Ибена [Iben 63], Фаулера [Fowl 64], Бардина [Bard 65] и Тупера [Тоор 66].

Фейнман поставил вопрос о том, являются ли его модели сверхзвёзд устойчивыми. ”Устойчивость нашей звезды не изучена [количественно]”, подчёркивает он и затем продолжает представлять исходные рассуждения по данному вопросу: ”[Модели, которые имеют] одно и то же количество нуклонов и одно и то же значение τ [одно и то же значение энтропии], могут сравниваться как по значению радиуса, так и по температуре в центре. Факт, состоящий в том, что очевидно имеется минимальное значение радиуса [наиболее левый изгиб на рис. П.1], … является очень соблазнительным; звезда может иметь устойчивую конфигурацию”. Здесь Фейнман интуитивно идёт к методу анализа устойчивости, создание которого было завершено год или более спустя Джеймсом Бардиным, когда он стал аспирантом Фейнмана. Завершённая Бардиным версия аргумента Фейнмана [Bard 65, ВТМ 66] показала, что когда мы движемся вдоль кривой, описывающей энергию связи, ограничивая себя только фиксированными значениями массы 𝑀_rest

, энтропия меняется от одной модели к другой, за исключением области в окрестности каждого минимума или максимума связи, где конфигурация является стационарной. Это означает, что звезда обладает модой деформации с нулевой частотой для каждого значения минимума или максимума, модой, которая переносит сверхзвезду от одной равновесной модели к другой с тем же самым значением энтропии, энергии связи и массой покоя. Это в свою очередь означает, что одна мода радиальных колебаний меняет устойчивость в каждом экстремуме связи. Анализируя эти конфигурации и рассматривая моды собственных функций, которые должны иметь место, Бардин выводит, что если кривая связи поворачивается по часовой стрелке, когда по ней перемещаемся через экстремум, тогда эта мода становится неустойчивой; если эта кривая поворачивается против часовой стрелке, тогда эта мода становится устойчивой. (Это утверждение является справедливым вне зависимости от того направления, в котором мы движемся по кривой.) Анализ Бардина, приложенный к рис. П.1, показывает, что практически ньютоновские модели в нижнем правом углу (которые сжимаются, когда они излучают) являются устойчивыми, и они должны терять устойчивость и коллапсировать для того, чтобы образовать чёрную дыру, когда они достигают минимума кривой связи; эти модели за точкой минимума (включая все модели Фейнмана) обладают одной неустойчивой модой радиальной пульсации; эти модели за первым пиком в кривой связи (верхняя левая часть рис. П.1) обладают двумя неустойчивыми модами и т.д.

Фейнман, конечно, не отдавал себе в этом отчёт 28 января 1963 года; так что он приступил к лекции 14 для того, чтобы достичь понимания относительно устойчивости его моделей с помощью других методов. Он представляет себе, что взята одна из таких моделей сверхзвезды с барионной массой покоя 𝑀_rest и затем этот объект раскалываем на две сверхзвезды, каждая из которых имеет массу покоя 𝑀_rest/2, в то время как сохраняется фиксированным значение энтропии на один нуклон. ”Получим ли мы работу в результате этого процесса, или мы должны затратить работу для того, чтобы получить [звезду], расколотую на две части?” Из его таблицы 1 и уравнений (14.2.1а-14.2.1в) он выводит, что ”два объекта … должны были быть более массивными; требуется работа для того, чтобы расколоть такую систему. Это наводит на мысль о том, что звезда не могла бы выбрасывать вещество, но сохранялась бы в одном коме”, т.е. звезда могла бы быть устойчивой.