Фейнмановские лекции по гравитации

Может быть мы всё ещё можем получить теорию гравитации путём обмена двух нейтрино, так что они могут иметь диагональные расчётные элементы. Нет ясного пути, идя по которому, можно увидеть, почему энергия взаимодействия между двумя большими объектами должна была бы быть в точности пропорциональна их массам, хотя очевидно, что она была бы, по крайней мере, грубо пропорциональна числу частиц в каждом из них. Оставляя в стороне это обстоятельство (или возвращаясь назад, если что-либо работает не так, как следует), мы будем говорить, что взаимодействие двух объектов пропорционально произведению 𝑚₁⋅𝑚₂, умноженному на взаимодействие одной пары частиц. Мы продвигаемся много дальше, чем в предыдущем случае, но делаем это несколько более аккуратно, поскольку результаты более интересные. Амплитуда того, что испускается пара нейтрино за время 𝑑𝑡 есть 𝐺'𝑑𝑡. Амплитуда того, что одно нейтрино испускается из одной точки в другую равна 1/(𝑡²-𝑟²+𝑖ε) Мы введём массы взаимодействующих частиц 𝑚₁, 𝑚₂ говоря, что эти массы должны представлять общее число частиц так, что энергия между двумя массами равна

𝐸

=

𝑚₁

𝑚₂

𝐺'²

∫

𝑖𝑑𝑡

(𝑡²-𝑟²+𝑖ε)²

.

(2.4.1)

Этот интеграл может быть весьма легко взят, либо вычислением вычетов в полюсах или простым дифференцированием интеграла (2.3.1), так что энергия равна

𝐸

=

𝑚₁

𝑚₂

𝐺'²π

2

1

𝑟²

,

(2.4.2)

где 𝑟 расстояние, разделяющее частицы. Таким образом, мы обнаруживаем, что обмен двумя нейтрино приводит значение энергии, которое неправильно зависит от расстояния. Это заключение приводит к выводу, что теория выглядит безнадёжно. Но надежда возникает вновь, если мы анализируем ситуацию несколько дальше. Оказывается, что мы можем получить член, который зависит как 1/𝑟, рассмотрением обмена между тремя массами. Три частицы могут обмениваться двумя нейтрино между любыми из трёх пар и новым способом (рис. 2.5). Положим, что первое испускание имело место при 𝑡=0, а другие вершины имели место в моменты времени 𝑡 и 𝑠. Тогда во взаимодействие вовлечена была бы энергия

𝐺'³

𝑚₁

𝑚₂

𝑚₃

𝑖²

∫

𝑑𝑠 𝑑𝑡

(𝑠²-𝑟₁₂)(𝑡²-𝑟₂₃)[(𝑠-𝑡)²-𝑟₃₁]

.

(2.4.3)

Этот интеграл может быть вычислен последовательным интегрированием в каждом из полюсов и результат равен

𝐸

=-

𝐺'³

𝑚₁

𝑚₂

𝑚₃

π²

1

(𝑟₁₂-𝑟₂₃-𝑟₁₃)𝑟₁₂𝑟₂₃𝑟₁₃

.

(2.4.4)

Если одна из масс, скажем масса номер 3, существенно удалена, так что 𝑟₁₃ много больше, чем 𝑟₁₂, то мы, действительно, получаем, что взаимодействие между массами номер 1 и номер 2 обратно пропорционально величине 𝑟₁₂.

Что же такое масса 𝑚₃? Это, очевидно, может быть некоторая эффективная средняя величина по всем другим массам во вселенной. Влияние удалённых масс, сферически распределённых вокруг масс 1 и 2, проявилось бы как интеграл по средней плотности; мы бы имели

𝐸

=-

𝐺'³𝑚₁𝑚₂π²

𝑟₁₂

∫

4πρ(𝑅)𝑅²𝑑𝑅

2𝑅³

,

(2.4.5)

где 𝑅 - большое значение расстояния 𝑅≈𝑟₁₂≈𝑟₂₃ Для простой оценки мы можем взять плотность, равной константе внутри сферы; мы выполним интегрирование от некоторого начального значения радиуса, которое, тем не менее, достаточно большое по сравнению со значением 𝑟₁₂. Вклад всех масс вне сферы с этим минимальным значением радиуса является чем-то типа

𝐸

=-

𝑚₁𝑚₂

𝑟₁₂

2π³

𝐺'³

ln

⎛

⎜

⎝

𝑅₀

𝑅_𝑖

⎞

⎟

⎠

ρ

.

(2.4.6)

Этот логарифм является некоторой величиной, которая не может быть многим больше, чем 50 или 100, так как характерное значение внешнего радиуса может быть равно 𝑇𝑐=10¹⁰ световых лет 10²⁸ см. Такая энергия действует подобно гравитации; можем ли мы опровергнуть это? Да, и двумя способами. Во-первых, величина этого логарифмического члена становится сравнимой с величиной всей силы (2.4.2), пропорциональной 1/𝑟³, на расстояниях больших, чем те, на которых ньютоновский закон гравитации уже проверен. Более того, если мы рассматриваем влияние Солнца на гравитационное взаимодействие между Землёй и Луной, мы обнаруживаем, что это влияние должно было бы приводить к наблюдаемым отклонениям в орбитальном движении, так как расстояние от Земли до Солнца меняется при движении Земли вдоль своей орбиты. Мы оцениваем этот эффект следующим образом. Мы хотим сравнить вклад Солнца во взаимодействие Земля - Луна со вкладом всех остальных звёзд. Это влияние зависит от массы и обратно пропорционально кубу расстояния. Для логарифма меньшего, чем 1000, вклад Солнца превосходит в 10¹² вклад звёзд для любой разумной оценки плотности звёзд! Таким образом, мы можем пренебречь вкладом звёзд. Но таких больших возмущений, которые бы соответствовали изменению эффективной гравитационной константы, которое бы возникало от ±2 процентной вариации расстояния между Землёй и Солнцем, не наблюдалось в системе Земля - Луна.

Рис. 2.6.