Фейнмановские лекции по гравитации

Теперь наша задача состоит в том, чтобы описать частные характеристики тензора 𝐓 так, чтобы воспроизводились характеристики гравитации. A priori возможно, что тензор 𝐓 включает в себя градиенты, который и есть вектор 𝐤. Если в тензор включены только градиенты, то в результирующей теории нет монополей; простейшими объектами могут быть диполи. Мы хотим, чтобы тензор 𝐓 был таким, как в нерелятивистском пределе, а плотность энергии появлялась по аналогии с плотностями заряда 𝑇₄₄. Как хорошо известно, мы имеем в электромагнетизме тензор давления, чья компонента 𝑇₄₄ является в точности плотностью энергии электромагнитного поля. Следовательно, очень вероятно, что имеется некоторый общий тензор, чей компонент 𝑇₄₄ является плотностью полной энергии; это будет задавать ньютоновский закон гравитации в пределе малых скоростей, энергия взаимодействия при этом

-𝑇'₄₄𝑇₄₄

𝑘²

.

(3.3.3)

Затем, для того, чтобы иметь правильную релятивистскую теорию, необходимо следовать тому, чтобы амплитуда включала в себя полный тензор 𝐓, как мы предполагали в соотношении (3.3.2).

Имеется свойство этого тензора, которое мы не ещё упомянули. След симметричного тензора - инвариантная величина, не обязательно равная нулю. Таким образом, при вычислениях, основываясь на симметричном тензоре с ненулевым следом, мы могли бы взять теорию, которая есть смесь теорий со спином равным 0 и со спином равным 2. Если мы выписываем теорию, использующую этот тензор, мы найдём, когда мы придём к разделению взаимодействия на его поляризации, что очевидно имеется три поляризации вместо двух, которые допустимы для безмассовой частицы со спином 2. Для того, чтобы быть более точными, мы можем получить кроме взаимодействия (3.2.2) другую возможную инвариантную форму, пропорциональную 𝑇^μ_μ(1/𝑘²)𝑇^ν_ν. Мы попытаемся установить соотношения между этими двумя инвариантами таким образом, чтобы не было обмена реальными гравитонами с угловым моментом, равным нулю.

Выпишем в точности все различные члены следующим образом

𝑇'

_μν

1

𝑘²

𝑇

^μν

=

1

ω²-𝑘²

(

𝑇'₄₄𝑇₄₄

-

2𝑇'₄₃𝑇₄₃

-

2𝑇'₄₂𝑇₄₂

-

-

2𝑇'₄₁𝑇₄₁

+

2𝑇'₂₃𝑇₂₃

+

2𝑇'₃₁𝑇₃₁

+

+

2𝑇'₂₁𝑇₂₁

+

𝑇'₃₃𝑇₃₃

+

𝑇'₂₂𝑇₂₂

+

𝑇'₁₁𝑇₁₁

).

(3.3.4)

В электродинамике мы получили упрощение, используя закон сохранения заряда. Здесь мы получаем упрощение, используя закон сохранения энергии, который может быть выражен в импульсном пространстве следующим образом

𝑘

^μ

𝑇

_μν

=

0.

(3.3.5)

В нашей обычной системе координат, где компоненты 𝑘¹ и 𝑘² равны нулю, получаем связь компонентов нашего тензора с индексами 3 и 4

ω𝑇

_4ν

=-

𝑘𝑇

_3ν

.

(3.3.6)

Используя это соотношение для исключения компонентов с индексом 3, мы находим, что амплитуда разделяется на часть, описывающую мгновенное взаимодействие, имеющую характерный числитель 𝑘², и запаздывающую часть со знаменателем (ω²-𝑘²). Для ”мгновенного” члена мы получаем

-

1

𝑘²

⎡

⎢

⎣

𝑇'₄₄𝑇₄₄

⎛

⎜

⎝

1

-

ω²

𝑘²

⎞

⎟

⎠

-

2𝑇'₄₁𝑇₄₁

-

2𝑇'₄₂𝑇₄₂

⎤

⎥

⎦

,

(3.3.7)

и для ”запаздывающего” члена

1

ω²-𝑘²

(

𝑇'₁₁𝑇₁₁

+

𝑇'₂₂𝑇₂₂

+

2𝑇'₂₁𝑇₂₁

).

(3.3.8)

Трансверсальные компоненты тензора 𝐓 предположительно независимы, так что они представляют сумму трёх независимых произведений или трёх поляризаций. Мы видим, что такая теория содержит смесь спина 0 и спина 2. Для того, чтобы исключить часть, соответствующую спину нуль, мы должны добавить к нашей амплитуде член вида

α

𝑇'

^ν

_ν

⎛

⎜

⎝

1

𝑘²

⎞

⎟

⎠

𝑇'

^μ

_μ

.

(3.3.9)

В ”запаздывающем” члене добавляются компоненты тензора следующим образом

α

1

ω²-𝑘²

(

𝑇'₁₁

+

𝑇'₂₂

)(

𝑇₁₁

+

𝑇₂₂

).

Мы можем выбрать параметр α так, что ”запаздывающий” член содержит только сумму двух независимых произведений. Соответствующее значение параметра α равно -½ для того, чтобы сделать запаздывающий член равным

1

ω²-𝑘²

⎡

⎢

⎣

1

2

(

𝑇'₁₁

-

𝑇'₂₂

)(

𝑇₁₁

-

𝑇₂₂

)+

2𝑇'₁₂𝑇₁₂

⎤

⎥

⎦

.

(3.3.10)

Имеется два направления поляризации, которые порождаются этими комбинациями элементов тензора

1

√2

(

𝑇₁₁

-

𝑇₂₂

)

и

√

2

(

𝑇₁₁

).

(3.3.11)

Различная нормализация есть результат симметрии нашего тензора; мы можем восстановить симметрию, записывая

√

2

(

𝑇₁₁

)

=

1

√2

(

𝑇₁₁

-

𝑇₂₂

).

(3.3.11a)

Следовательно, возможное решение типа плоской волны, представляющее наш гравитон, имеет вид

ℎ

_μν

=

𝑒

_μν

exp(𝑖𝑘

_σ

𝑥

^σ

)

,

(3.3.12)

где тензор поляризации 𝑒_μν имеет следующие ненулевые компоненты

𝑒₁₁

=

1

√2

,

𝑒₂₂

=-

1

√2

,

𝑒₁₂

=

𝑒₂₁

=

1

√2

.

(3.3.13)

Наше взаимодействие в общем виде

𝑇'

_μν

1

𝑘²

𝑇

_μν

-

1

2

𝑇'

^μ

_μ

1

𝑘²

𝑇

ν

ν

может быть записано как 𝑇'^στ𝑃_στ,μν𝑇^μν, где 𝑃_στ,μν пропагатор для гравитона описывается следующим соотношением:

𝑃

_στ,μν

=

1

2

(

η

_μσ

η

_ντ

+

η

_μτ

η

_νσ

-

η

_μν

η

_στ

)

1

𝑘²

.

Для простоты мы обычно будем предпочитать записывать этот пропагатор как простой множитель 1/𝑘² и представлять взаимодействие виртуальными гравитонами, испущенными источником с амплитудой

ℎ

_μν

=

1

𝑘²

⎛

⎜

⎝

𝑇

_μν

-

1

2

η

_μν

𝑇

^σ

_σ

⎞

⎟

⎠

и со связью ℎ_μν𝑇'^μν для поглощения.

Амплитуда для излучения реального гравитона поляризации 𝑒_στ, если 𝑒^σ_σ, как в соотношении (3.3.13), задаётся внутренним (скалярным) произведением 𝑒_στ𝑇^στ.

3.4. Физическая интерпретация в терминах амплитуд

Рис. 3.3.