Фейнмановские лекции по гравитации

Возможно мы можем сделать предположение по некоторой аналогии с электромагнетизмом. Если мы вычисляем вариацию общего лагранжиана (3.5.1) по отношению к 𝐴, мы получаем дифференциальное уравнение, связывающее поля и ток

∂

∂𝑥_ν

∂

∂𝑥^ν

𝐴

_μ

-

∂

∂𝑥_ν

∂

∂𝑥^μ

𝐴

_ν

=

𝑗

_μ

.

(3.5.3)

Для экономии записи далее мы будем показывать такие дифференцирования (градиенты), просто указывая индексы координат после запятой; уравнение, которое приведено выше, имеет следующий вид:

𝐴

_μ,ν

^,ν

-

𝐴

_ν,μ

^,ν

=

𝑗

_μ

.

(3.5.4)

Закон сохранения заряда выражается вычислением дивергенции 𝑗_μ, равной нулю. Но мы можем заметить, что уравнения Максвелла для этого поля несогласованы, за исключением закона сохранения заряда, и что градиент от выражения в левой части соотношения (3.5.4) тождественно равен нулю. С использованием правильного лагранжиана электромагнитного поля, закон сохранения заряда может быть выведен как следствие полевых уравнений. Так как левая часть уравнения (3.5.4) удовлетворяет этому тождеству, его дивергенция также равна нулю:

𝐴

_μ,ν

^,νμ

-

𝐴

_ν,μ

^,νμ

=

0.

(3.5.5)

Подобное условие используется для того, чтобы определить величину коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, … относительно друг друга. Мы будем выписывать общий лагранжиан, выводить дифференциальные полевые уравнения путём вариации лагранжиана и требовать, что, так как дивергенция тензора 𝐓 обращается в нуль, полевые величины, которые равны этому тензору, должны иметь дивергенцию, которая равна нулю тождественно. Это условие будет влиять на однозначный выбор значений коэффициентов. Мы проведём ниже алгебраические вычисления подробно, устанавливая значения коэффициентов таким образом, что полевые уравнения согласованы, если только

𝑇

^μν

_,ν

=

0.

(3.5.6)

3.6. Уравнения гравитационного поля

Вывод уравнений начнём с выписывания всех возможных произведений нашего полевого тензора ℎ_μν. На каждом шагу имеют место значительные упрощения, если мы используем симметрию тензора ℎ_μν при комбинации различных членов. Если два тензорных индекса отличны от индекса производной, мы имеем два различных произведения

1.

ℎ

_μν,σ

ℎ

^μν,σ

2.

ℎ

_μν,σ

ℎ

^μσ,ν

Если имеются два индекса, которые равны, мы можем иметь три возможных произведения

3.

ℎ

^μν

_,ν

ℎ

^σ

_μ,σ

4.

ℎ

^μν

_,ν

ℎ

^σ

_σ,μ

5.

ℎ

^ν

_ν,μ

ℎ

_σ

^σ,μ

Не все пять произведений необходимо рассматривать, произведение п. 2 может быть опущено, поскольку оно может быть преобразовано в произведение п. 3 интегрированием по частям. Таким образом, предполагаем, что лагранжиан имеет следующий вид

𝑆

=

∫

𝑑τ

⎡

⎣

𝑎

ℎ

^μν,σ

ℎ

_μν,σ

+

𝑏

ℎ

^μν

_,ν

ℎ

^σ

_μ,σ

+

𝑐

ℎ

^μν

_,ν

ℎ

^σ

_σ,ν

+

+

𝑑

ℎ

^ν

_ν,μ

ℎ

_σ

^σ,μ

-

λ

𝑇

^μν

ℎ

_μν

⎤

⎦

.

(3.6.1)

Теперь мы вариируем эту сумму четырёх произведений по отношению к тензору ℎ_αβ для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее полевые производные с тензором источника 𝑇_αβ. Таким образом, приходим к следующему результату (необходимо помнить, что δℎ_αβ симметричен по индексам α, β, так что симметричная часть его коэффициентов должна быть равна нулю)

𝑎2

ℎ

_αβ,σ

^,σ

+

𝑏

(

ℎ

_ασ,β

^,σ

+

ℎ

_βσ,α

^,σ

)

+

+

𝑐

(

ℎ

^σ

_σ,αβ

+

η

_αβ

ℎ

^μν

_,νμ

)

+

𝑑2

η

_αβ

ℎ

^σ

_σ,μ

^μ

=-

λ𝑇

_αβ

.

(3.6.2)

Мы берём производную каждого из этих членов по отношению к индексу β, тогда требование, что дивергенция левой части должна быть равна нулю, приводит к следующему уравнению

2𝑎

ℎ

^αβ,σ

_,σβ

+

𝑏

ℎ

^ασ,β

_,σβ

+

𝑏

ℎ

^βσ,α

_,σβ

+

𝑐

ℎ

^σ

_σ

^,αβ

_β

+

+

𝑐

ℎ

^μν

_,μν

^α

+

2𝑑

ℎ

^σ

_σ,μ

^,μα

=

0.

(3.6.3)

Теперь объединяем члены с одним и тем же множителем и берём значение соответствующего коэффициента равным нулю; получаем следующие соотношения, которые включают в себя перестановку и смену индексов:

ℎ

^αβ,σ

_,σβ

(2𝑎+𝑏)

=

0,

ℎ

^βσ,α

_βσ

(𝑏+𝑐)

=

0,

ℎ

^σ

_σ,β

^αβ

(𝑐+2𝑑)

=

0.

(3.6.4)

Если мы выбираем масштаб для наших результатов такой, что 𝑎=½, мы получаем

𝑎

=

1

2

,

𝑏

=

-1

,

𝑐

=

1

,

𝑑

=-

1

2

.

(3.6.5)

Предположительно, теперь мы получили правильный лагранжиан для гравитационного поля. Как следствие из этого лагранжиана мы получим в конце концов полевое уравнение.

3.7. Определение символов

Манипуляции с тензорными величинами становятся всё более скучными в той работе, которой мы занимаемся; и для того, чтобы не увязнуть в алгебре со многими индексами, могут быть разработаны некоторые упрощающие приёмы. В настоящее время не очевидно, что определения, которые мы делаем, полезны; подтверждение этому проявится в их более позднем использовании.

Определим оператор ”черта” для произвольного тензора второго ранга следующим образом:

𝑋

_μν

=

1

2

(

𝑋

_μν

+

𝑋

_νμ

)-

1

2

η

_μν

𝑋

^σ

_σ

.

(3.7.1)

Для симметричного типа, такого как 𝐡, это правило проще, потому что два члена в первой скобке равны

ℎ

_μν

=

ℎ

_μν

-

1

2

η

_μν

ℎ

^σ

_σ

,

(3.7.2а)

ℎ

μν

=

ℎ_μν

.

(3.7.2б)

Заметим, что оператор ”черта” является своим собственным обратным оператором для симметричного тензора.

Определим также использование неиндексированного тензорного символа, чтобы представить его след

ℎ

=

Th(𝐡)

=

ℎ

^σ

_σ

,

ℎ

^σ

_σ

=-

ℎ

.

(3.7.3)

Используя такие обозначения, можно записать полевые уравнения (3.6.2) с учётом (3.6.5) в симметризованном варианте

ℎ

_μν,σ

^,σ

-

2

ℎ

_μσ,ν

^,σ

=-

λ

𝑇

_μν

.