Фейнмановские лекции по гравитации

где 𝐾 есть константа (пропорциональная энергии). Это соотношение используется для исключения производной 𝑑𝑡/𝑑𝑠 из уравнения для пространственных компонент (4.7.7). Так как величины φ, ψ зависят только от 𝑟, правая часть уравнения (4.7.7) ориентирована по оси 𝑥. Из этого следует, что

𝑑

𝑑𝑠

[

(1-ψ)

(𝑥̇𝑦-𝑦̇𝑥)

]=

0.

Таким образом, если мы предполагаем, что движение происходит полностью в плоскости 𝑧=0 и используем полярные координаты 𝑟, θ в плоскости 𝑥𝑦, мы имеем дополнительную константу движения 𝐿, связанную с угловым моментом

(1-ψ)

𝑟²θ̇

=

𝐿.

(4.7.12)

Уравнение для радиального движения может быть получено из уравнения (4.7.10), записанного в полярных координатах

𝐾²

1+φ

-

(1-ψ)

(𝑟²θ̇²+𝑟̇²)

=

1.

(4.7.13)

Меняя производную (𝑑𝑟/𝑑θ) на отношение (𝑑𝑟/𝑑𝑠) и (𝑑θ/𝑑𝑠), мы получаем дифференциальное уравнение для орбиты

𝐾²

1+φ

-

𝐿²

(1-ψ)𝑟⁴

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑟

𝑑θ

⎞²

⎟

⎠

+

𝑟²

⎤

⎥

⎦

=

1.

(4.7.14)

Традиционная подстановка 𝑢=1/𝑟 приводит к уравнению, которое можно удобно рассмотреть, анализируя малые возмущения ньютоновских уравнений

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑢

𝑑θ

⎞²

⎟

⎠

+

𝑢²

=

⎛

⎜

⎝

𝐾²

1+φ

-1

⎞

⎟

⎠

1-ψ

𝐿²

.

(4.7.15)

Мы полагаем, что φ=ψ=-2𝑀𝐺/𝑟=-2𝑀𝐺𝑢. Для нерелятивистских движений 𝐾 близка к 1 и 𝐾²/(1+φ)-1=𝐾²-1+2𝑀𝐺𝑢, если величина φ предполагается малой, так что в пределе малых значений φ,ψ правая часть уравнения (4.7.15) как раз и есть 𝐿⁻²(𝐾²-1+2𝑀𝐺𝑢). Это выражение такое же, как и в ньютоновской теории, где правая часть уравнения равна (𝐸+2𝑀𝐺𝑢)𝐿⁻². где 𝐸 - энергия частицы. В релятивистском случае имеются модификации, где мы не пренебрегаем членами более высокого порядка. Их мы обсудим в следующей лекции.

Лекция 5

5.1. Орбиты планет и прецессия Меркурия

Поскольку мы уже достигли некоторого прогресса в развитии более сложных теорий, мы должны взглянуть на более тонкие детали наших предсказаний для того, чтобы иметь критерии для оценки нашей теории. У нас есть полевая теория, которая сводится к ньютоновской теории в статическом пределе и включает в себя полное содержание энергии, и оказывается способной правильно предсказывать ”падение” фотонов в поле звезды. Экспериментальное свидетельство, которое заставит нас отказаться от ньютоновского приближения, касается прецессии перигелия планеты Меркурий. Мы продолжаем вычисление орбит планет. Начнём с уравнения

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑢

𝑑θ

⎞²

⎟

⎠

+

𝑢²

=

⎛

⎜

⎝

𝐾²-1-φ

1+φ

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

1-ψ

𝐿²

⎞

⎟

⎠

,

𝑢

=

1

𝑟

,

𝐾

=

(1+φ)

𝑑𝑡

𝑑𝑠

,

𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑑θ

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

=

𝐿

=

(1-ψ)𝑟²

𝑑θ

𝑑𝑠

,

(5.1.1)

где символы φ и ψ представляют собой диагональные элементы тензора ℎ_μν, φ=2λℎ₄₄ и ψ=2λℎ_𝑖𝑖, 𝑖=1,2,3. Согласно нашей теории, которую мы разработали к настоящему времени, мы имеем φ=ψ=-2𝐺𝑀/𝑟=-2𝐺𝑀𝑢. Однако, как мы вскоре увидим, наша теория неверна, и, чтобы не проделывать всю работу вновь после исправления теории, мы запишем

φ

=

α(-2𝐺𝑀𝑢)

+

𝑎(-2𝐺𝑀𝑢)²

+

…,

ψ

=

β(-2𝐺𝑀𝑢)

+

𝑏(-2𝐺𝑀𝑢)²

+

…,

(5.1.2)

в наших уравнениях, но для того, чтобы найти следствия нашей существующей теории, мы должны положить 𝑎=𝑏=0 и α=β=1 в этих формулах в самом конце. В случае нашей скалярной теории α=β=1 и φ=-2𝐺𝑀/𝑟 Предположим, что потенциал φ в естественных единицах нашей задачи 𝑚𝑐 много меньше 1, так что мы можем разложить множитель 1/(1+φ) в ряд по φ тогда уравнение движения принимает следующий вид:

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑢

𝑑θ

⎞²

⎟

⎠

+

𝑢²

=

1

𝐿²

(𝐾²-1-φ)

(1-φ+φ²-…)

(1-ψ)

.

(5.1.3)

Перепишем теперь правую часть этого уравнения как ряд по степеням 𝑢. Сохраняя только первый и второй степени малого потенциала, 2𝐺𝑀𝑢 и 𝐾²-1, мы имеем

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑢

𝑑θ

⎞²

⎟

⎠

+

𝑢²

=

𝐴

+

𝐵𝑢

+

𝐵𝑢²

+

…,

(5.1.4)

где

𝐴

=

1

𝐿²

(𝐾²-1)

;

𝐵

=

2𝐺𝑀

𝐿²

[

(𝐾²-1)

(α+β)+α

];

𝐶

=

(2𝐺𝑀)²

𝐿²

[

𝐾²α²

+

𝐾²αβ

-

𝐾²α

-

(𝐾²-1)𝑏

].

Продифференцируем по переменной θ; после сокращения общих множителей уравнение принимает такой вид, для которого довольно просто найти возмущённые решения

𝑑²𝑢

𝑑θ²

+

𝑢

=

1

2

𝐵

+

𝐶𝑢

+

+… .

(5.1.5)

Когда 𝐶=0, это уравнение имеет решения типа простых конических сечений ньютоновских теорий. Переменная 𝑢 испытывает гармонические осцилляции около точки 𝐵/2 как функция θ. Для эллиптических орбит частота равна 1, так что радиальная координата 𝑟 возвращается к своему начальному значению при изменении значения угла θ на 2π движение в точности циклическое. Когда 𝐶 не равно нулю, частота равна ω=√1-𝐶. Угловой период в этом случае больше, так что перигелий поворачивается при угловом изменении 𝑇=2π/ω=2π(1+𝐶/2+…). Угол π𝐶 представляет прецессию перигелия за один планетарный год, так как 𝐶≪1.

Для нерелятивистской планеты мы получаем значение прецессии довольно просто; нерелятивистский предел имеет место, когда общая энергия 𝐾 близка к 1 (в естественных единицах 𝑚𝑐²). В этом случае легко показывается, что уравнение (5.1.5) сводится в точности к ньютоновскому уравнению, как это и должно быть. То, что наша теория должна иметь правильный нерелятивистский предел, является более важным, чем то, что она даст правильное значение для прецессии! Когда 𝐾²-1≈0, прецессия за планетарный год равна

π𝐶

=

(α²+𝑎+αβ)

4π𝑀²𝐺²𝐿⁻²

.

(5.1.6)