Feynmann 3

Наконец, последний пример. Предположим, что нам нужно так поставить зеркало, чтобы свет из точки Р всегда приходил в Р' (фиг. 26.11). На любом пути свет должен отразиться от зер­кала, и время для всех путей должно быть одинаковым. В данном случае свет проходит только в воздухе, так что время прохож­дения пропорционально длине пути. Поэтому требование равен­ства времен сводится к требованию равенства полных длин пу­тей. Следовательно, сумма расстояний r1 и r₂ должна оставаться постоянной. Эллипс обладает как раз тем свойством, что сумма расстояний любой точки на его кривой от двух заданных точек постоянна; поэтому свет, отразившись от зеркала, имеющего такую форму, наверняка попадет из одного фокуса в другой.

Этот принцип фокусировки служит для наблюдения света звезд. При постройке большого 200-дюймового телескопа в об­серватории Паломар использовалась следующая идея. Вообразите себе звезду, удаленную от нас на миллиарды километров; мы хотим собрать весь испускаемый ею свет в фокус. Конечно, мы не можем начертить всю траекторию лучей до звезды, тем не менее мы должны проверить, насколько времена на различ­ных траекториях равны. Мы, конечно, знаем, что если множест­во различных лучей достигло плоскости КК', перпендикулярной направлению лучей, то времена для всех этих лучей будут равны (фиг. 26.12). Далее лучи должны отразиться от зеркала и за равные промежутки времени попасть в фокус Р'.

Фиг. 26 10. Фокусирующая опти­ческая система.

Фиг. 26.11. Эллиптическое зеркало.

Это означает, что мы должны найти такую кривую, для которой сумма рас­стояний ХХ'-\-Х'Р' будет постоянна, независимо от выбора точки X. Легче всего это сделать, продолжив отрезок XX'

до плоскости LL'. Потребуем теперь, чтобы выполнялись соот­ношения А'А"=А'Р',В'В"=В'Р', С'С"=С'Р' и т. д.; в этом случае мы получаем нужную нам кривую, потому что сумма длин А 'А+А 'Р' =АА'+А 'А'' будет постоянной для всех точек кривой. Значит, наша кривая есть геометрическое место всех точек, равноудаленных от линии и некоторой заданной точки. Такая кривая называется параболой; вот зеркало телескопа и было изготовлено именно в форме параболы.

Приведенные примеры в общих чертах иллюстрируют прин­цип устройства оптических систем. Точные кривые можно рас­считать, используя правило равенства времен на всех путях, ведущих в точку фокуса, и требуя, чтобы время прохождения на всех соседних путях было большим.

В следующей главе мы еще вернемся к фокусирующим опти­ческим системам, а теперь обсудим дальнейшее развитие теории. Когда предлагается новый физический принцип, такой, как принцип наименьшего времени, то нашей первой естественной реакцией могли бы быть слова: «Все это очень хорошо, восхити­тельно, но вопрос заключается в том, улучшает ли это вообще наше понимание физики?». На это можно ответить: «Да. Посмот­рите сколько новых фактов мы теперь поняли!» А кто-то возра­зит: «Ну, в зеркалах я и так разбираюсь. Мне нужна такая кри­вая, чтобы каждая касательная к ней плоскость образовывала равные углы с двумя лучами света. Я могу рассчитать и линзу, потому что каждый падающий на нее луч отклоняется на угол, даваемый законом Снелла». Здесь очевидным образом содержа­ние принципа наименьшего действия совпадает с законом равен­ства углов при отражении и пропорциональности синусов углов при преломлении. Тогда, может быть, это философский вопрос, а может быть, вопрос просто в том, какой путь красивее? Можно привести аргументы в пользу обеих точек зрения.

Однако критерий важности всякого принципа состоит в том, что он предсказывает нечто новое.

Легко показать, что принцип Ферма предсказывает ряд но­вых фактов. Прежде всего предположим, что имеются три среды — стекло, вода и воздух и мы наблюдаем явление прелом­ления и измеряем показатель n для перехода из одной среды в другую.

Фиг. 26.12. Параболическое зеркало.

Обозначим через n₁₂ показатель преломления для пе­рехода из воздуха (1) в воду (2), а через n₁₃— для перехода из воздуха (1) в стекло (3). Измерив преломление в системе вода— стекло, найдем еще один показатель преломления и назовем его п₂₃

.Здесь заранее нет оснований считать, что n₁₂ , n₁₃ и n₂₃ связаны между собой. Если же исходить из принципа наимень­шего времени, то такую связь можно установить. Показатель n₁₂ есть отношение двух величин—скорости света в воздухе к скорости света в воде; показатель n₁₃ есть отношение скорости в воздухе к скорости в стекле, а n₂₃ есть отношение скорости в воде к скорости в стекле. Поэтому, сокращая скорость света в воздухе, получаем

(26.5)