Feynmann 6a

Это выглядит очень странно, если пользоваться представле­нием о передающей линии, как о распределенных индуктивности и емкости. Но ведь все мы знаем, что внутри пустой металличе­ской трубы могут распространяться электромагнитные волны. Если труба прямая, через нее все видно! Значит, электромаг­нитные волны через трубу бесспорно проходят. Но мы знаем также, что нет возможности передавать волны низкой частоты (переменный ток или телефонные сигналы) через одну-единственную металлическую трубу. Выходит, электромагнитные вол­ны проходят через нее только тогда, когда их длина волны дос­таточно мала. Поэтому мы рассмотрим предельный случай самых длинных волн (или самых низких частот), способных про­ходить через трубу данного размера. Эту трубу, служащую для прохождения волн, называют волноводом.

Начнем с прямоугольной трубы, ее проще всего анализи­ровать. Сперва изложим все математически, а потом еще раз вернемся назад и рассмотрим вопрос более элементарно. Но этот более элементарный подход легко применить лишь к прямо­угольным трубам. Основные же явления в любой трубе одни и те же, так что математические доводы звучат более основа­тельно.

Поставим перед собой следующий вопрос: какого типа волны могут существовать в прямоугольной трубе? Выберем сначала удобные оси координат: ось z направим вдоль трубы, а оси х и у — вдоль стенок (фиг. 24.3).

Известно, что когда волны света бегут по трубе, их электри­ческое поле поперечно; поэтому начнем с поиска таких решений, в которых Е перпендикулярно z, скажем решений с одной толь­ко y-компонентой Е_y (фиг. 24.4,а). Это электрическое поле должно как-то меняться поперек волновода; действительно, ведь оно должно обратиться в нуль на сторонах, параллельных оси у: токи и заряды в проводнике устраиваются всегда так, чтобы на его поверхности не осталось никаких касательных составляющих электрического поля.

Фиг, 24.3. Выбор осей коорди­нат для прямоугольного волно­вода.

Значит, график Е_y от х должен напоминать некоторую дугу (фиг. 24.4,6). Может быть, это найденная нами для полости функция Бесселя? Нет, функции Бесселя появляются только в задачах с цилиндрической сим­метрией. При прямоугольных сечениях волны — это обычные гармонические функции, что-нибудь вроде sink_xx.

Раз мы ищем волны, которые бегут вдоль трубы, то следует ожидать, что поле как функция z будет колебаться между по­ложительными и отрицательными значениями (фиг. 24.5) и что должно как-то меняться поперек волновода; действительно, ведь оно должно обратиться в нуль на сторонах, параллельных оси у: токи и заряды в проводнике устраиваются всегда так, чтобы на его поверхности не осталось никаких касательных составляющих электрического поля.

Фиг. 24.4. Электрическое поле в волноводе при некотором зна­чении z.

Фиг. 24.3. Выбор осей коорди­нат для прямоугольного волно­вода.

Значит, график Е_y от х должен напоминать некоторую дугу (фиг. 24.4,6). Может быть, это найденная нами для полости функция Бесселя? Нет, функции Бесселя появляются только в задачах с цилиндрической сим­метрией. При прямоугольных сечениях волны — это обычные гармонические функции, что-нибудь вроде sink_xx.

Раз мы ищем волны, которые бегут вдоль трубы, то следует ожидать, что поле как функция z будет колебаться между по­ложительными и отрицательными значениями (фиг. 24.5) и что

Фиг. 24,4. Электрическое поле в волноводе при некотором зна­чении z.

Фиг. 24.5. Зависимость поля в волноводе от z.

эти колебания будут бежать вдоль трубы с какой-то скоростью v. Если имеются колебания с определенной частотой w, то надо испытать, может ли волна меняться по z как cos(wt—k_zz) или, в более удобной математической форме, как еⁱ(wt-k₂z). Такая зависимость от z представляет волну, бегущую со скоростью v=w/k_z [см. гл. 29 (вып. 3)].

Значит, можно допустить, что волна в трубе имеет следую­щую математическую форму:

(24.12)

Давайте-ка поглядим, можно ли при таком допущении удов­летворить правильным уравнениям поля. Во-первых, электри­ческое поле не должно иметь составляющих, касательных к про­воднику. Для этого наше поле подходит; вверху и внизу оно на­правлено поперек стенок, а с боков равно нулю. Впрочем, для последнего необходимо, чтобы полволны sin k_xx как раз укла­дывалось на всей ширине волновода, т. е. чтобы было

(24.13)

Это условие определяет k_x. Есть и иные возможности, например k_xa=2p, Зp

, ... или в общем случае

(24.14)

где n — целое. Все они представляют различные сложные рас­положения полей, но мы дальше будем говорить о самом прос­том, когда k_x=p/a, a a — внутренняя ширина трубы.

Далее, дивергенция Е в пустом пространстве внутри трубы должна быть равна нулю, потому что в трубе нет зарядов. У нашего Е есть только y-компонента, но по у она не меняется, так что действительно V·Е=0.