Feynmann 7

Фиг. 30.8. Симметрия вра­щения выше шестого порядка невозможна (а); симметрия вращения пятого порядка невозможна (б).

Мы должны предположить, что точки В и С эквивалентны А и что а и b — наиболее короткие векторы, проведенные из А до эквивалентных соседей. Но это, безусловно, неверно, потому что расстояние между В и С короче, чем от любого из них до А. Должна существовать соседняя точка D, эквивалентная А, ко­торая ближе к А, чем к

В или С. Мы должны были бы выбрать b' в качестве одного из основных векторов. Поэтому угол между основными векторами должен быть равен 60° или еще больше. Октагональная симметрия невозможна.

А как быть с пятикратной симметрией? Если мы предполо­жим, что основные векторы а и b имеют одинаковую длину и образуют угол 2p/5=72° (фиг. 30.8, б), то должна существовать эквивалентная точка решетки в D под 72° к линии АС. Но век­тор b' от Е к D тогда короче b, и b уже не основной вектор. Пятикратной симметрии быть не может. Единственные воз­можности, не приводящие к подобным трудностям, это q=60, 90 или 120°. Очевидно, допустимы также нуль и 180°. Можно еще так выразить полученный нами результат: рисунок может не меняться при повороте на полный оборот (ничего не изме­няется), полоборота, одну треть, одну четверть или одну ше­стую оборота. И этим исчерпываются все возможные вращатель­ные симметрии на плоскости — всего их пять. Если 8=2p/n, то мы говорим об «n-кратной» симметрии, или симметрии n-го порядка. Мы говорим, что узор, для которого n

равно 4 или 6, обладает более «высокой симметрией», чем узор с n, равным 1 или 2.

Вернемся к фиг. 30.7, а. Мы видим, что узор там обладает четырехкратной вращательной симметрией. На фиг. 30.7, б мы нарисовали другое расположение, которое обладает теми же свойствами симметрии, что и фиг. 30.7, а. Маленькие фигурки, похожие на запятые,— это асимметричные объекты, которые служат для определения симметрии изображения внутри каж­дого квадратика. Заметьте, что запятые в соседних квадратиках перевернуты попеременно, так что элементарная ячейка боль­ше одного квадратика. Если бы запятых не было, рисунок по-прежнему обладал бы четырехкратной симметрией, но эле­ментарная ячейка была бы меньше. Посмотрим внимательно на фиг. 30.7; мы обнаружим, что они обладают еще и другими типами симметрии. Так, отражение относительно каждой пунк­тирной линии R—R воспроизводит рисунок без изменений. Но это еще не все. У них есть еще один тип симметрии. Если отразить рисунок относительно линии y—y, а затем сдвинуть на один квадратик вправо (или влево), то снова получится пер­воначальный рисунок. Линия у—у называется линией сколь­жения.

Этим исчерпываются все типы симметрии в пространстве двух измерений. Есть еще одна пространственная операция сим­метрии, которая на плоскости эквивалентна вращению на 180°, однако в трехмерном пространстве она не сводится к этому вра­щению, а есть совсем другая операция. Я говорю об инверсии. Под инверсией мы подразумеваем такую операцию, когда лю­бая точка, отвечающая вектору смещения из начала координат

R (например, точка А на фиг. 30.9, б), переносится в точку —R.

Фиг. 30.9. Операция симметрии, называемая инверсией.

а — рисунок меняется; б — рисунок не меняется при преобразовании R ® -R

;

в — в трех измерениях рисунок не симметричен после операции инверсии;

г — рисунок симметричен в трех измерениях.

Инверсия рисунка а на фиг. 30.9 дает новый рисунок, а инверсия рисунка б приводит к такому же рисунку. На дву­мерном узоре (вы можете это видеть) инверсия рисунка б в точ­ке А эквивалентна повороту на 180° вокруг той же самой точки. Предположим, однако, что мы сделали узор на фиг. 30.9, б трехмерным, вообразив на маленьких шестерках и девятках «стрелочки», смотрящие из страницы кверху. В результате ин­версии в трехмерном пространстве все стрелочки перевернутся и направятся вниз, так что узор не воспроизведется. Если мы обозначим острия и хвосты стрелок точками и крестиками, то сможем образовать трехмерный рисунок (фиг. 30.9, в), который несимметричен относительно инверсии, или же мы можем получить рисунок, который такой симметрией обладает (фиг. 30.9, г). Заметьте, что трехмерную инверсию нельзя получить никакой комбинацией вращений.

Если мы будем характеризовать «симметрию» рисунка (или решетки) разного рода операциями симметрии, которые мы только что описали, то окажется, что в двумерном случае сущест­вуют 17 различных форм узоров. Узор с наинизшей возможной симметрией мы изобразили на фиг. 30.1, а узор с одной из наи­высших симметрии — на фиг. 30.7. Отыщите сами все 17 возможных форм рисунков.