Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Мы считаем, что поле тяготения Земли одинаково для всех находящихся в нем предметов, но приписываем различным предметам разные массы, которые пропорциональны притяжению этих предметов полем. Это гравитационная масса М⁺. Мы говорим, что разные предметы имеют разный вес, поскольку они обладают разными массами ⁺, которые притягиваются полем тяготения. Таким образом, гравитационные массы по определению пропорциональны весам. Гравитационная масса определяет, с какой силой тело притягивается Землей. Позднее мы увидим (на это указывает третий закон Ньютона), что тяготение взаимно: если Земля притягивает камень, то камень точно так же притягивает Землю. Значит, гравитационная масса ⁺ тела определяет также, насколько сильно оно притягивает другое тело, Землю. Таким образом гравитационная масса измеряет количество вещества, на которое действует земное притяжение, или количество вещества, обусловливающее гравитационные притяжения между телами. Мы могли бы сказать, что масса М⁺ характеризует «величину» тела с точки зрения гравитационного взаимодействия его с другими телами. (Как вы узнаете в гл. 23[104], каждое тело, заключающее в себе некоторое количество вещества, притягивает любое другое тело, испытывая одновременно притяжение этого второго тела, но лишь Земля обладает достаточно большой массой М⁺, чтобы создавать заметное притяжение небольших предметов, которые находятся вокруг нас.)

Сравнивая тела путем взвешивания, мы сравниваем их гравитационные массы. (Если два тела положены на чашки равноплечих рычажных весов, и весы при этом уравновешены, то мы знаем, что гравитационные массы обоих тел равны, однако на основании одного этого наблюдения мы не можем сказать, равны ли их инертные массы.)

Связь между гравитационной и инертной массами. Гравитационное притяжение действует на два одинаковых куска свинца вдвое сильнее, чем на один. Гравитационные массы кусков свинца должны быть пропорциональны инертным массам, поскольку массы того и другого вида, очевидно, пропорциональны числу атомов свинца. То же самое относится к кускам любого другого материала, скажем воска, но как сравнить кусок свинца с куском воска? На этот вопрос нельзя ответить, руководствуясь только здравым смыслом или одними рассуждениями. Ответ на него дает наш символический эксперимент по изучению падения тел всевозможных размеров и материалов с вершины наклонной Пизанской башни. Сбросим два куска любого материала любых размеров. Они падают с одинаковым ускорением g. Сила, действующая на тело и сообщающая ему ускорение, — это его вес, притяжение Земли, приложенное к этому телу. Мы знаем, что веса пропорциональны гравитационным массам, — таково определение гравитационной массы ⁺.

Фиг. 158.Символический эксперимент.

Но веса тел, т. е. силы их притяжения Землей, сообщают всем телам одинаковое ускорение g. Поэтому веса должны быть пропорциональны инертным массам. Следовательно, тела любой формы содержат одинаковые пропорции обеих масс. Если принять 1 кг в качестве единицы обеих масс, то гравитационная и инертная массы будут одинаковы у всех тел любых размеров, из любого материала и в любом месте.

Вот как это доказывается. Предоставим двум телам А и В возможность свободно падать. Каждое тело падает с ускорением g. Силой, которая сообщает каждому телу ускорение, является его вес W. Приложим силу F = K∙M∙a к каждому из падающих тел. В таком случае F — это земное притяжение W, М — инертная масса тела М°, а а — ускорение свободного падения g. Следовательно, соотношение F = K∙M∙a дает

для тела А

W_A = K∙M_А°∙g,

для тела В

W_B = K∙M_B°∙g,

Разделим обе части первого равенства соответственно на левую и правую части второго. Сократив постоянную К и воспользовавшись результатами указанного выше эксперимента, подтверждающего, что g одинаково для разных тел, получим

W_A/W_B = M_А°/M

_B°

Но W_A/W_B = M_А⁺/M_B⁺ по определению М⁺, следовательно,

M_А⁺/M_B⁺ = M_А°/M_B

°

т. е. отношение гравитационных масс тел А и В равно отношению инертных масс этих тел.

Иначе говоря, можно записать

M_А⁺/M_А^° = M_В⁺/M_В^°

Итак, отношение (гравитационная масса)/(инертная масса) одно и то же для тел А и В и всех других тел. Если мы выберем 1 кг в качестве единицы обеих масс, то это отношение станет равным единице, и мы получим, что (гравитационная масса) = (инертная масса) для всех тел[105].

Удивительное тождество