Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Эта задача — простой, частный пример закона сохранения энергии. Восхитительный закон природы? Едва ли, просто мы так выбрали выражение ¹/₂ Mv² для кинетической энергии, чтобы оно было равно F∙s, а так как мы используем то же самое выражение F∙s для характеристики изменения потенциальной энергии, то следует ожидать, что сумма обеих энергий будет оставаться постоянной как следствие нашего выбора.

Если какая-то часть движения падающего камня расходуется на трение о воздух, то сумма энергий не будет постоянной. Кинетическая энергия будет расти медленнее, так как трение требует своей доли. Поэтому без учета теплоты (и энергии воздушных токов), идущей на нагревание воздуха из-за трения, мы не получим закона сохранения энергии.

В пункте (б) мы выбрали некрасивый способ вычисления v; сначала из формулы s = v₀t + ¹/₂ at² нашли время, затем из v = v₀ + at определили скорость. Все это делалось для того, чтобы избежать незнакомой нам формулы v² = v²₀ + 2as. А если мы воспользуемся ею, то мгновенно получим

v² = 0² + 2∙9,8∙10 = 196 м²/сек²,

v = √196 = 14 м/сек.

Кроме того, ясно, что эта формула немедленно дает сохранение энергии, ибо из нее и было получено ¹/₂ Mv².

Более общая алгебраическая форма записи. Предположим, что камень массой m начинает падать с начальной скоростью v₀ с высоты h₀. К моменту, когда его высота станет h₁, он пройдет расстояние (h₀ — h₁) с ускорением g, направленным вниз, так что его скорость их будет определяться выражением

v²₁= v²₀

+ 2g∙(h₀ — h₁)

Поэтому сумма кинетической и потенциальной энергий равна

¹/₂ mv²₁ + mgh₁ = ¹/₂∙m∙[v²₀ + 2g∙(h₀ — h₁)] + mgh₁ =

= ¹/₂

mv²₀ + mgh₀ — mgh₁ + mgh₁ =

=¹/₂ mv²₀ + mgh₀

т. е. первоначальной сумме кинетической и потенциальной энергий. Следовательно, на любой высоте h₁ полная энергия та же, что и на первоначальной высоте h₀.

Пример Д. Теплота и кинетическая энергия

Свинцовая пуля массой 0,006 кг, летящая со скоростью 400 м/сек, ударяет в стальную стенку и останавливается. Подсчитайте, насколько возрастет ее температура. Удельная теплоемкость свинца составляет 0,03, а 1 Кал = 4200 дж.

Примечание. Удельная теплоемкость 0,03 означает, что свинец требует в 0,03 раза больше тепла, чем та же масса воды при нагревании на одну и ту же температуру (см. гл. 27). Для нагревания воды массы М на ΔТ° С требуется М∙ΔТ

Кал. А в случае свинца потребуется теплоты в 0,03 раза больше, или М∙ΔТ∙(0,03) Кал

Предположим, что вся кинетическая энергия пули превратится в теплоту

¹/₂ mv² = ¹/₂∙(0,006)∙(400²) = (0,006)∙80 000 дж.

Если повышение температуры (ΔТ) равно ΔТ° С, то поглощенное свинцом количество тепла равно

(МАССА)∙(ПОВЫШЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ)∙(УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ) =

= (0,006)∙(ΔТ)∙(0,03) Кал =

= (0,006)∙(ΔТ)∙(0,03)∙(4200) дж

Если вся кинетическая энергия переходит в теплоту и если вся теплота остается в свинце, то (0,006)∙(80 000) дж должны быть равны (0,006)∙(ΔТ)∙(0,03)∙(4200) дж. Сокращая на массу пули, 0,006 (кстати, почему она должна сократиться?) и разрешая относительно ΔТ, получаем

ΔТ = 80 000/(0,03)∙(4200) = 635 °C

Как и многие ответы к задачам в учебниках, и этот ответ далек от реальности, ибо такое повышение температуры привело бы к плавлению свинца, а в реальном соударении часть теплоты передается стенке.

Замкнутые системы

Любые законы сохранения энергии, импульса, воды, денег… должны иметь дело с «замкнутой системой». Мы проводим вокруг рассматриваемой области мысленную границу, и должны быть уверены, что ни одна из сохраняющихся величин не пересекает этой границы. Тогда, утверждая, что нечто сохраняется, мы имеем в виду, что в пределах этой границы оно не может быть ни создано, ни уничтожено (не считая равных количеств положительного и отрицательного) и возможен лишь обмен. Доведенное до предела, это требование вынуждает нас в качестве замкнутой системы брать всю Вселенную, но в большинстве случаев даже небольшая совокупность тел или частиц оказывается практически замкнутой системой.

Вряд ли можно доказать закон сохранения денег для отдельного человека или для отдельного города. В каждом из этих случаев система не замкнута: деньги постоянно обращаются — текут то туда, то сюда. Однако можно обнаружить «закон сохранения денег» на небольшом острове. Требование замкнутости кажется достаточно очевидным, забыв о нем, можно прийти к парадоксам. Стреляющее ружье не составляет замкнутой системы ни с точки зрения количества движения (импульса), ни с точки зрения энергии — и то, и другое возрастает. Но если ружье поставить на колеса, то ружье + пуля + газы образует практически замкнутую систему в отношении количества движения: все они получают равные, но противоположные количества движения, а полное количество движения системы остается неизменным. Для энергии нам нужно взять ружье + порох + пулю; только тогда можно рассчитывать на ее сохранение.