Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

Замечание о нулевом уровне потенциальной энергии

Прирост потенциальной энергии силы тяжести определяется произведением вес на высоту подъема. Чтобы вычислить полную потенциальную энергию силы тяжести предмета, мы должны знать его «полную высоту», а это, по-видимому, не имеет смысла. От чего отсчитывать эту высоту — от поверхности Земли, от ее центра, а может быть, от стола? Ответ: абсолютного нулевого уровня потенциальной энергии в обычных расчетах нет. К счастью, мы пользуемся только изменением потенциальной энергии, а поэтому можем выбирать любой удобный для нас нулевой уровень. Если мы возьмем на берегу камень и поднимем его на вершину утеса, то в качестве нулевого уровня можно взять уровень морского берега и приписать камню на берегу нулевую потенциальную энергию. Если мы сбросили камень с воздушного шара на Землю, то нулевым уровнем будет поверхность Земли. Если же бросить камень в колодец, то в качестве нулевого уровня лучше выбрать либо дно колодца, либо уровень Земли, и когда камень находится ниже уровня Земли, воспользоваться странной на первый взгляд отрицательной потенциальной энергией. Если мы ставим опыт над лабораторным столом, то в качестве нулевого уровня можно выбирать либо поверхность стола, либо пол. В последнем случае все высоты будут больше, но разность высот останется, конечно, той же самой.

Поднимая предмет все выше и выше, мы, очевидно, сообщаем ему все большую потенциальную энергию. Непосредственно над земной поверхностью каждый килограмм при подъеме на 1 м приобретает 9,8 дж, но когда мы поднимаем его на большую высоту, то должны учитывать изменение силы земного притяжения согласно закону обратных квадратов. На высоте 6000 км килограмм приобретает при подъеме на 1 м в 4 раза меньшую энергию, т. е. 2,45 дж. Из-за уменьшения земного притяжения потенциальная энергия тела на большой высоте возрастает все медленнее и медленнее. Используя закон обратных квадратов и интегральное исчисление[165], мы найдем, что на очень больших расстояниях (на «бесконечности», если угодно) потенциальная энергия приближается к пределу, который оказывается равным той энергии, которую имеет тело, поднятое на высоту радиуса Земли, при условии, что вес тела остается тем же, что и на поверхности.

Для 1 кг это означает прирост в 9,8 ньютон∙6 400 000 м, или 63 000 000 дж. Если в качестве нулевого уровня принять значение потенциальной энергии на «бесконечности», то каждый килограмм на Землю будет иметь отрицательную потенциальную энергию, равную 63 000 000 дж.

Для обычных лабораторных работ такое число слишком громоздко и бесполезно. Но оно говорит, сколько энергии мы должны сообщить телу, чтобы оторвать его от Земли. Для выбрасывания за «пределы» Земли ракеты или молекулы газа, с тем чтобы они никогда не вернулись назад, мы должны сообщить каждому килограмму более 63 000 000 дж кинетической энергии. Такова плата за потенциальную энергию. В этом суть «второй космической скорости». С какой скоростью должна двигаться масса М кг, чтобы обладать кинетической энергией 63 000 000 дж и заплатить за свое «избавление»?

Отрицательная потенциальная энергия подобного рода встречается и в простейших атомных моделях наподобие модели Бора. В электрическом поле притяжения атома электрон обладает отрицательной потенциальной энергией, если ее отсчитывать от нуля, когда электрон удален от атома «на бесконечность». Если электрон с «внешнего» уровня переходит на «внутренний», электрическое поле теряет часть своего запаса энергии потенциальная энергия уменьшается, величина отрицательной потенциальной энергии становится больше.

Выделенной полем энергии оказывается больше, чем это нужно электрону для увеличения кинетической энергии на «маленькой» орбите, и разницу в энергиях атом испускает в виде излучения.

Пример Б. Расчеты с тепловой энергией

При расчетах превращения тепловой энергии в механическую и т. д. мы должны для обеих форм пользоваться одной и той же единицей измерения. Опыты, описанные в следующей главе, показали, что 1 Кал ~= 4200 дж.

Автомобиль массой 1500 кг проехал 2 км со скоростью 50 км/час и сжег ¹/₅ л бензина.

а) Сколько тепла выделилось при сгорании этого бензина?

б) Какой доле среднего дневного рациона человека с нормальным пищеварением соответствует такое количество энергии (пусть его рацион составляет 3300 Кал в день)?

в) Сделайте грубую оценку замедления автомобиля и оцените полное «сопротивление» вследствие трения дороги и сопротивления воздуха на скорости 50 км/час. Вычислите энергию, необходимую для преодоления этого сопротивления на расстоянии 2 км (т. е. энергию в химической форме, превратившуюся в теплоту дороги и воздуха благодаря движению автомобиля, без учета теплоты, затраченной на прямое нагревание воздуха мотором).

г) Какая доля тепла, выделенного сгоревшим бензином, пошла на энергию, необходимую для движения автомобиля?

Ответы

а) Плотность бензина составляет 0,74 плотности воды, а масса 1 л воды 1 кг. Следовательно, масса 1 л бензина 0,74 кг, а масса ¹/₅ л бензина 0,15 кг.

Тепловыделение = 0,15∙11000 Кал/кГ ~= 1600 Кал

б) Эта энергия составляет 1600/3300 энергии среднего дневного рациона питания, т. е. примерно ¹/₂, так что 2 км езды на автомобиле берут из мирового запаса энергии столько же, сколько хороший обед.

в) Чтобы вычислить произведение сила на расстояние для перехода энергии при движении, нам нужно оценить силу F. Вот запись реального опыта с машиной. Автомобиль ехал по гладкой горизонтальной дороге. Когда скорость была немногим более 60 км/час, рычаг скоростей был переведен в нейтральное положение и автомобиль катил по дороге, замедляясь под действием сопротивления воздуха и трения о дорогу. На замедление от 60 до 40 км/час ушло 10 сек. (В этом эксперименте надо определить полное сопротивление при скорости около 50 км/час.) Затем эксперимент повторялся, но при движении в обратном направлении, чтобы усреднить действие ветра и наклона дороги. Время менялось от 10 до 14 сек и в большинстве случаев было между 12 и 13 сек. Замедление составляло

(20 км/час)/12,5 сек, или (5,6 м/сек)/12,5 сек, или 0,44 м/сек²

Замедляющая сила = 1500 кг ∙ 0,44 м/сек² =

= 660 ньютон, или 660 ньютон: 9,8 ньютон/кГ ~= 68 кГ

На преодоление этого сопротивления на расстоянии 2 км расход энергия (на нагрев воздуха, дороги, шин и осей автомобиля) равен

F∙s, или 660 ньютон∙2000 м ~= 1,3∙10⁶ дж.

г) Чтобы сравнить это с теплотой, выделенной бензином, мы должны выразить оба количества энергии в одних и тех же единицах:

Теплота, выделенная бензином = 1600 Кал = 1600 Кал∙4200 дж/Кал = 6,7∙10⁶ дж.

Следовательно, из 6,7 млн. дж, выделенных бензином, на «полезное» продвижение затрачено только 1,3 млн. К.п.д. = 1,3/6,7 ~= 20 %, что довольно хорошо для двигателя, работающего на бензине.

Пример В. Вычисления с использованием кинетической энергии, равной ¹/₂ mv²

(Не забудьте, что выражение для кинетической энергии выводилось из F = ma, поэтому она всегда выражается в абсолютных единицах — джоулях, а не в килограммометрах. Следовательно, силу в выражении F∙s при вычислении кинетической энергии мы тоже должны выражать в абсолютных единицах.)

Ружейная пуля массой 0,002 кг вылетает из ствола длиной 0,8 м со скоростью 400 м/сек.

а) Какова ее кинетическая энергия?

б) Какова сила[166], разогнавшая ее из состояния покоя до этой скорости?

Ответы

а) Энергия пули = ¹/₂ mv², или ¹/₂∙0,002∙(400)² кг∙м²/сек² = 0,001∙160 000 = 160 ньютон∙м, или дж.

б) Эта энергия образовалась из тепловой энергии газов при взрыве.

Работа, описывающая этот переход, равна F∙s, или (F ньютон)∙(0,80 м).

Итак, E_кин = 160 ньютон∙м = (F)∙(0,80) ньютон∙м при условии, что сила F полностью затрачена на ускорение пули, увеличение ее кинетической энергии

СИЛА F = 160/0,80 = 200 ньютон ~= 20 кГ

Довольно большое усилие для маленькой пули!

Пример Г. Иллюстрация закона сохранения энергии

(Попробуйте решить задачу самостоятельно, а потом, если нужно, заглянуть в ответ.)

Человек втаскивает на вершину обрыва высотой 40 м камень массой 2 кг.

а) Каков прирост потенциальной энергии камня?

б) Камень сбрасывается вниз. Сколько у него осталось потенциальной энергии после того, как он пролетел 10 м? Каков прирост кинетической энергии? Попытайтесь сложить потенциальную и кинетическую энергии.

в) Сколько у камня осталось потенциальной энергии из первоначального запаса после того, как он пролетел все 40 м? Какова его кинетическая энергия перед приземлением?

г) Опишите изменение потенциальной и кинетической энергий, а также суммы этих энергий в процессе падения камня.

Ответы

а) Прирост потенциальной энергии равен

Вес∙Высота = (2 кГ∙9,8 ньютон/кг)∙40 м = (19,6 ньютон)∙(40 м) = 784 ньютон∙м, или 784 дж.

б) Пролетев 10 м, камень оказался на высоте 30 м над землей, а его оставшаяся потенциальная энергия равна

(19,6 ньютон)·(30 м), или 588 дж.

Чтобы вычислить кинетическую энергию, необходимо знать скорость камня v.

Сначала[167] из s = v₀t + ¹/₂ at² найдем t:

а = 9,8 м/сек², s = 10 м, v₀ = 0, t =?

s = v

₀t + ¹/₂ at², 10 = 0 + (¹/₂)∙(9,8)∙t²,

t² = 10/4,9 = 100/49,

t = 10/7 сек

Теперь v = v₀ + at = 0 + (9,8)∙(10/7) = 14 м/сек;

В сумме обе энергии дают = 196 + 588 дж = 784 дж.

в) Пролетев 40 м, камень потерял всю потенциальную энергию. Падая ²⁰/₇ сек, он приобрел скорость 28 м/сек;

Кинетическая энергия = (¹/₂)∙(2 кГ)∙(28² м²/сек²), или 784 дж.

В сумме обе энергии дают: 784 дж + 0 = 784 дж.

г) Общее описание изменения энергии. Когда камень падает из состояния покоя с высоты 40 м над землей, то он начинает движение с запасом потенциальной энергии 784 дж (полученной им от человека из его запаса химической энергии) и нулевой кинетической энергии. По мере падения его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая возрастает, но сумма обеих энергий остается на всех стадиях одной и той же, т. е. 784 дж. Непосредственно перед приземлением камень исчерпывает свою потенциальную энергию, но зато его кинетическая энергия становится максимальной, т. е. 784 дж. Когда камень ударяется о землю, его кинетическая энергия исчезает, превращаясь в теплоту (около ¹/₅ Кал), которая нагревает камень, землю и воздух.