Физика в примерах и задачах

Рис.1.3. К нахождению точки, в которой натяжение нити T обращается в нуль

Угловое положение точки в которой сила натяжения нити обращается в нуль, легко найти с помощью закона сохранения энергии и проекции уравнения второго закона Ньютона на направление нити, полагая в нем силу натяжения нити T равной нулю. Из рис. 1.3 видно, что эти уравнения записываются следующим образом:

mv^2

2

=

mgl

(1-cos )

+

mv^2

2

,

(4)

mg

cos(-)

=

mv^2

l

.

(5)

Подставляя v^2 из уравнения (5) в (4), находим

cos

=

1

3

2

-

v^2

gl

.

(6)

Поскольку шарик поднимается выше точки подвеса только при v^22gl, то даваемое формулой (6) значение cos отрицательно. Из формулы (6) видно, что чем больше начальная скорость шарика v, тем ближе угол к . Наконец, если v^2=5gl, то cos =-1 и сила натяжения нити обращается в нуль, когда шарик при движении по окружности оказывается точно над точкой подвеса. Ясно, что при таком и тем более при больших значениях начальной скорости шарик будет совершать полные обороты по окружности, всё время натягивая нить.

Движение шарика в исходной лабораторной системе отсчёта, где его точка подвеса приведена в равномерное движение со скоростью v, получается в результате сложения описанного выше движения во вспомогательной системе отсчёта и равномерного движения со скоростью v.

Разобранный пример наглядно показывает следующее: несмотря на то, что законы движения во всех инерциальных системах отсчёта одинаковы, при решении конкретной задачи одна из этих систем может оказаться гораздо удобнее, чем остальные. Удачное применение принципа относительности может превратить сложную на первый взгляд задачу в почти очевидную.

2. Возбуждение атома при столкновении.

Наименьшая энергия возбуждения атома гелия равна 21,12 эВ. Возможно ли возбуждение неподвижного атома гелия при столкновении с протоном, обладающим энергией 24 эВ? с электроном такой же энергии?

Если энергия налетающей частицы недостаточна для возбуждения атома, то её столкновение с атомом является абсолютно упругим, так как внутреннее состояние атома измениться не может. При возбуждении или ионизации атома в результате удара налетающей частицы столкновение уже не является упругим, так как часть кинетической энергии превращается во внутреннюю энергию возбуждённого атома или затрачивается на совершение работы ионизации, т.е. на удаление электрона из атома. Вследствие закона сохранения импульса вся кинетическая энергия налетающей частицы не может пойти на возбуждение или ионизацию атома, хотя такой процесс и не противоречил бы закону сохранения энергии.

Какая же максимальная доля первоначальной кинетической энергии может быть использована для возбуждения атома? На этот вопрос легко ответить, если использовать законы сохранения энергии и импульса для процесса столкновения налетающей частицы с невозбуждённым атомом. Энергия возбуждения W представляет собой изменение внутренней энергии атома при переходе из основного состояния в возбуждённое. Энергия налетающей частицы - это её кинетическая энергия mv^2/2, где v - скорость частицы до столкновения.

Не первый взгляд могло бы показаться, что для возбуждения атома наиболее благоприятен случай, когда в результате удара налетающая частица останавливается, передавая атому всю свою энергию. Однако на самом деле оказывается, что в этом случае кинетическая энергия системы после удара не будет наименьшей. Во внутреннюю энергию атома переходит наибольшая часть кинетической энергии частицы, если после столкновения атом и налетевшая частица движутся с одинаковой скоростью, несмотря на то, что какую-то долю своей кинетической энергии налетающая частица при этом сохраняет.

Проще всего в этом убедиться, рассматривая процесс возбуждения атома в системе отсчёта, в которой неподвижен центр масс атома и налетающей частицы. Такая система отсчёта также является инерциальной. Согласно принципу относительности законы, описывающие любые физические явления, одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому во введённой системе, как и в исходной, также выполняются законы сохранения энергии и импульса. Полный импульс в этой системе отсчёта равен нулю, поэтому после столкновения могут остановиться оба тела - и атом, и частица. Если оба тела действительно остановятся, то во внутреннюю энергию атома перейдёт вся первоначальная кинетическая энергия. Но неподвижные в системе центра масс атом и частица имеют одинаковую скорость в исходной лабораторной системе отсчёта. Значит, приращение внутренней энергии атома будет наибольшим в том случае, когда после столкновения и атом, и налетевшая частица имеют одинаковую скорость. Именно такое столкновение и называется абсолютно неупругим ударом, хотя частицы после столкновения не объединяются в одно тело, а движутся независимо.

Запишем законы сохранения энергии и импульса, рассматривая этот наиболее благоприятный для возбуждения атома случай. Обозначим массу атома через M, а скорость атома и частицы после удара через V. Тогда

mv

=

(M+m)V

,

(1)

mv^2

2

=

(M+m)V^2

2

+

W

.

(2)