Физика в примерах и задачах

Мы используем здесь нерелятивистские формулы, так как при интересующих нас энергиях порядка 20 эВ и электрон, и тем более протон движутся со скоростью, много меньшей скорости света.

При заданной энергии возбуждения W уравнения (1) и (2) определяют наименьшую скорость налетающей частицы v и, следовательно, наименьшую энергию mv^2/2, при которой возможно возбуждение атома. Выражая V из (1) и подставляя в (2), находим

mv^2

2

=

1

+

m

M

W

.

(3)

Из этого соотношения видно, что чем легче налетающая частица, тем меньше её энергия, достаточная для возбуждения атома. Например, при возбуждении атома налетающим электроном (m) практически достаточно, чтобы его энергия была равна энергии возбуждения W. Если же атом гелия возбуждается налетающим протоном (mM/4), то, как видно из формулы (3), кинетическая энергия протона должна быть в 1,25 раза больше энергии возбуждения. Поэтому электрон с энергией 24 эВ может возбудить атом гелия (но может рассеяться и упруго, законы сохранения энергии и импульса допускают и такой процесс!), в то время как протон с такой энергией обязательно будет рассеиваться упруго.

Рассмотренный пример позволяет понять, почему при возникновении самостоятельного газового разряда определяющую роль в ионизации столкновениями играют именно электроны, а не тяжёлые ионы, хотя последние тоже ускоряются электрическим полем.

3. Взаимные превращения электронов и фотонов.

Возможно ли излучение и поглощение света свободным электроном? Может ли свободный фотон, обладающий достаточной энергией, превратиться в электрон-позитронную пару?

Может ли свободный электрон излучать свет? На первый взгляд кажется, что испускание фотона свободно движущимся электроном не противоречит законам сохранения энергии и импульса. Действительно, ничто, казалось бы, не мешает электрону, движущемуся с некоторой скоростью v, уменьшить свою скорость, передав испускаемому фотону часть своего импульса и кинетической энергии. Однако, записав законы сохранения энергии и импульса для этого процесса, мы увидим, что одновременно удовлетворить этим законам невозможно. Проще всего в этом убедиться, воспользовавшись эквивалентностью различных инерциальных систем отсчёта: во всех инерциальных системах отсчёта все физические законы одинаковы. Поэтому достаточно доказать невозможность излучения фотона свободным электроном в какой-нибудь одной инерциальной системе отсчёта.

Рассмотрим систему отсчёта, в которой электрон неподвижен. Энергия электрона в этой системе до излучения фотона

E

=

mc^2

.

(1)

После излучения фотона вследствие закона сохранения импульса электрон приобретает некоторую скорость v, и энергия системы электрон плюс фотон даётся выражением

E

=

mc^2

1-v^2/c^2

+

h

.

(2)

где h - энергия испущенного фотона. Сравнивая формулы (1) и (2), видим, что удовлетворить закону сохранения энергии невозможно, ибо E всегда больше E.

Вдумавшись в приведённые рассуждения, легко сообразить, что свободный электрон не может не только излучать, но и поглощать свет. Чтобы в этом убедиться, достаточно просто прочитать приведённые формулы в обратном порядке: соотношение (2) даёт энергию системы электрон плюс фотон до поглощения в системе отсчёта, где суммарный импульс электрона и фотона равен нулю, а соотношение (1) - энергию после поглощения фотона.

Разумеется, приведённые рассуждения справедливы только для элементарных частиц и неприменимы к сложным объектам, состоящим из нескольких элементарных частиц, например к атомам и молекулам. Свободно движущиеся атомы или молекулы могут излучать и поглощать!

Испускать или поглощать фотоны электрон может только тогда, когда он движется с ускорением, например пролетает вблизи ядра и взаимодействует с его электрическим полем.

Итак, мы убедились, что фотон не может просто поглощаться свободным электроном. Но вот исчезнуть при взаимодействии со свободным электроном, породив при этом электрон-позитронную пару, он может. Для этого фотон должен, конечно, обладать достаточной энергией. Какой же именно?

Прежде всего отметим, что превращение фотона (гамма-кванта) в электрон-позитронную пару возможно только в присутствии какой-либо частицы. Без такой частицы этот процесс вообще невозможен в силу закона сохранения импульса. Действительно, предположим, что это произошло, т.е. образовалась электрон-позитронная пара. Всегда существует такая система отсчёта, в которой центр масс электрона и позитрона неподвижен, т.е. полный импульс образовавшейся пары равен нулю. Тогда в этой системе отсчёта должен быть равен нулю и импульс фотона, породившего эту пару. Но это невозможно, так как не существует такой системы отсчёта, в которой фотон покоится. Поэтому фотон может превратиться в электрон-позитронную пару только в присутствии частицы, которая «принимает на себя» его импульс.