Флатландия. Сферландия

Но оставим опыт и обратимся к рассуждениям по аналогии. Четвертое измерение можно ввести следующим образом. Объем четырехмерного куба равен произведению длины, ширины, высоты и некоторого четвертого измерения. Чтобы вычислить объем четырехмерного прямоугольного параллелепипеда, необходимо произвести четыре линейных измерения, причем каждое в направлении, перпендикулярном трем остальным. Следовательно, четвертое измерение образует прямой угол с каждым из трех направлений, вдоль которых мы измеряем длину, ширину и высоту трехмерного прямоугольного параллелепипеда. Четырехмерный единичный куб должен иметь ребро, совпадающее с отрезком AB, грань совпадающую с квадратом ABCD, и основание, совпадающее с кубом ABCDEFGH. Четырехмерный единичный куб содержит M × M × M × M = M⁴ точек. Перейти из одной его точки в любую другую можно, двигаясь в четырех фиксированных направлениях, параллельных четырем его ребрам, сходящимся в одной вершине.

Квадрат ABCD (рис. 1) мы получим из отрезка AB, передвинув этот отрезок со всеми его M точками на расстояние, равное 1 см в направлении, перпендикулярном единственному измерению отрезка AB. Каждая точка отрезка AB при движении описывает некоторый отрезок, и, таким образом, квадрат

ABCD содержит M отрезков, так же как и M² точек. Куб ABCDEFGH мы получим из квадрата ABCD, сдвинув квадрат ABCD на расстояние, равное 1 см, в направлении, перпендикулярном двум измерениям квадрата. При движении M отрезков и M² точек квадрата опишут соответственно M квадратов и M

² отрезков. Следовательно, куб ABCDEFGH содержит M квадратов, M² отрезков и M³ точек. Аналогично четырехмерный единичный куб мы получим из трехмерного куба ABCDEFGH, передвинув этот куб на расстояние, равное 1 см, в направлении, перпендикулярном каждому из трех измерений куба, то есть в направлении четвертого измерения. При движении M квадратов, M² прямых и M³ точек трехмерного куба ABCDEFGH опишут соответственно

M кубов, M² квадратов и M³ отрезков. Следовательно, четырехмерный единичный куб содержит M кубов, M² квадратов, M³ отрезков и M⁴ точек. Обратимся теперь к рассмотрению элементов, образующих границы единичных отрезков, квадратов, кубов и четырехмерных кубов. У единичного отрезка AB имеются две граничные точки («вершины»). У единичного квадрата ABCD — четыре вершины, у единичного куба ABCDEFGH — восемь вершин (по четыре от начального и конечного положения производящего квадрата), а у четырехмерного единичного куба — 16 вершин (по восемь вершин от начального и конечного положения производящего куба). Подсчитаем число ребер. У единичного отрезка AB

есть лишь одно ребро (сам отрезок AB). У единичного квадрата ABCD — четыре стороны, («ребра»), у единичного куба ABCDEFGH — двенадцать ребер (по четыре ребра от начального и конечного положений производящего квадрата и четыре ребра, описанных четырьмя вершинами производящего квадрата), а у четырехмерного единичного куба тридцать два ребра (по двенадцать ребер от начального и конечного положений производящего куба и восемь ребер, описанных восемью вершинами производящего куба). Подсчитаем теперь число граней. У единичного квадрата ABCD есть лишь одна грань (сам квадрат ABCD). У единичного куба ABCDEFGH имеется шесть граней (по одной грани от начального и конечного положения квадрата ABCD и четыре грани, описанные сторонами производящего квадрата), а у четырехмерного единичного куба имеются двадцать четыре грани (по шесть граней от начального и конечного положений производящего куба и двенадцать граней, описанных ребрами производящего куба). Подсчитаем наконец число граничных кубов. У куба ABCDEFGH есть лишь один граничный куб (сам куб ABCDEFGH), а у четырехмерного единичного куба имеется восемь граничных кубов (по одному кубу от начального и конечного положения производящего куба и шесть кубов, описанных гранями производящего куба).

Рис. 2.

Рис. 3.