Гильберт. Основания математики

22. Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций (проблема, происхождение которой лежало в работах Клейна и Пуанкаре по данному вопросу).

23. Развитие методов вариационного исчисления. Гильберт значительно способствовал прогрессу в этой области анализа (которая была напрямую связана с проблемами 19 и 20, касающимися существования, единственности и свойств решений вариационного исчисления). Эта тема обладала чрезвычайной жизнеспособностью в XX веке, что говорит об отличном чутье Гильберта, закончившего список проблем общим вопросом из этой области.

В Париже, не имея достаточно времени, Гильберт успел обозначить только 10 из своих 23 проблем: континуум-гипотезу (проблема 1); непротиворечивость арифметики (2); аксиоматизацию физических теорий (6); некоторые проблемы теории чисел, включая гипотезу Римана (7 и 8); невозможность разрешения уравнения седьмой степени (13); вопрос о кривых и поверхностях, определенных полиномиальными уравнениями (16); аналитические решения регулярных проблем вариационного исчисления (19); существование обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих заданным группам монодромии (21), и вопрос Пуанкаре о параметризации алгебраических кривых с помощью автоморфных функций (22).

Если бы я проснулся, проспав тысячу лет, то в первую очередь спросил бы: доказали ли гипотезу Римана?

Давид Гильберт

Не так давно историк математики Тиле Рюдигер в одной из тетрадей Гильберта обнаружил, что тот хотел добавить еще одну проблему (24), которую в итоге отверг. Проблема состояла в определении критерия простоты или доказательства максимальной простоты некоторых доказательств. Гильберт намеревался развить общую теорию о методах доказательства в математике. Как ни парадоксально, через несколько лет он сам основал (см. главу 5) теорию доказательств.

Однако в списке был ряд важных упущений: несколько путей, по которым он не пошел. Матричная алгебра, статистика, логика или прикладная математика, бурно развивавшиеся в конце века, наряду с зарождающимися топологией, теорией меры и функциональным анализом для Гильберта интереса не представляли. Точно так же проблема трех тел и последняя теорема Ферма были упомянуты, но не предложены в качестве открытых проблем математики будущего.

В следующей таблице показано современное состояние 23 проблем Гильберта.