Гильберт. Основания математики

Мало того, к синтаксическим ограничениям, которые открыл Гёдель, присоединилось другое ограничение — семантическое, формальных систем первого порядка: теорема, сформулированная Леопольдом Лёвенгеймом (1878-1957) и Туральфом Скулемом (1887-1963) около 1920 года (Скулем вернулся к ней в 1933 году). В 1930 году в рамках своего доказательства полноты логики первого порядка Гёдель мимоходом доказал, что любая непротиворечивая теория первого порядка имеет модель, в которой аксиомы проверяются, хотя и ничего не добавил о том, какие характеристики имеет эта модель и как ее построить. Лёвенгейм и Скулем до этого заметили, что любая непротиворечивая формальная система первого порядка имеет, по сути, счетную модель. Это порождает парадокс Скулема: если ZF непротиворечиво, то оно обладает счетной моделью. То есть несчетный континуум, которым мы намереваемся оперировать в ZF, может относиться к счетному множеству вне ZF. Теория действительных чисел, от которой мы ждем знакомой несчетной модели («настоящие» действительные числа), также имеет счетную модель.

ТЕОРЕМА ТАРСКОГО О НЕВЫРАЗИМОСТИ ИСТИНЫ

Альфред Тарский (1902-1993) считал себя лучшим из живущих математических логиков с ясным умом (чтобы избежать сравнения с Гёделем, страдавшим маниями и навязчивыми идеями).

В 1939 году этому польскому ученому удалось переехать в США и на несколько десятилетий превратить университет Беркли в мировую столицу математической логики. Он любил работать ночью и увлекался психотропными средствами, которые помогали ему бодрствовать и трудиться без устали, а также имел репутацию Казановы.

Тарский знаменит тем, что в 1933 году опубликовал огромную статью, в которой дал формальное определение истине и таким образом обозначил начало теории моделей. Если Гильберт в своей теории доказательства прояснил синтаксическое понятие формального доказательства, Тарский сделал то же самое с семантическим понятием истины.

Альфред Тарский, 1968 год.

Еще одна ограничительная теорема

В 1933 году, через два года, после того как Гёдель объявил о двух результатах о неполноте, Тарский извлек на свет другую ограничительную теорему, хотя она уже была провозглашена и доказана Гёделем в письме Цермело, датированном 1931 годом. В этой ограничительной теореме установлено, что любая формальная теория первого порядка, содержащая базовую арифметику, неспособна (если она непротиворечива) выразить свое собственное понятие истины. Интересные непротиворечивые теории не могут содержать выражения «быть истинным» в своем языке, поскольку в этом случае они породили бы парадокс лжеца. С помощью гёделизации можно воспроизвести формулу Г, которая утверждает о самой себе, что она ложная. Воспользовавшись выражением «быть истинным», которое, предположительно, существует в языке, мы придем к следующему противоречию: Т истинное тогда и только тогда, если оно ложное, поскольку именно это утверждает Т. Как в случае с лжецом: я говорю правду, если я лгу. Без сомнения, математические логики сумели применить цикличность, лежащую в основе парадоксов, с большой пользой.

ENTSCHEIDUNGSPROBLEM, ИЛИ ПРОБЛЕМА РАЗРЕШЕНИЯ