Гильберт. Основания математики

Часто говорят, что платоническая позиция лучше всего характеризует отношение математика к сути этой дисциплины. Математик верит в реальность математических объектов. Но, конечно, когда философы начинают одолевать его своими вопросами, он бежит и прячется под юбкой формализма и заявляет: «Математика — всего лишь сочетание знаков, лишенных значения, красивая игра формул, еще интереснее, чем шахматы». Но при этом ее отношение к их реальному значению скрыто сумерками: если нужна точность, надо исключить любое значение; но если нужно, чтобы математика имела смысл, нужно отказаться от точности. Для строгого формалиста любая математическая теория — всего лишь сочетание знаков, не имеющих значения, как иероглиф, лишенный смысла. Большинство математиков являются платонистами по будням, пока работают с теоремами, пропозициями и выводами, и становятся формалистами по выходным, когда оставляют работу и беседуют с философами.

Хотя ясно, что Гильберт был формалистом в рамках области оснований математики, нельзя утверждать, что он оставался им в отношении общей концепции науки. Для немецкого математика она не имеет ничего общего с произвольностью игры. Здесь скорее закрытая подкрепленная внутренней необходимостью концептуальная система, в которой новым идеям всегда соответствуют новые знаки и манипуляции.

В итоге формализм оказался самым сильным течением, хотя его стремление к надежной математике, расцениваемой как наука о формальных системах, разбилось о теоремы Гёделя. И ошибка представителей этого течения, как и других, заключается в предположении, что науки базируются на своих собственных основаниях.

Во время кризиса оснований не было речи об опасности обрушения многовекового здания математики. Довольно распространенный миф заключается в том, что логико-формальные решения поддержали руины, потому что математика продолжала развиваться и никто не заметил трещин. Но все-таки она переживала золотой век с его блестящими достижениями (теория меры, функциональный анализ, топология...). А неудачно названный кризис оснований, который намечался только в области логики и теории множеств, был скорее кризисом методов, который обновил подход к математике.

Гильберт был чемпионом по аксиоматике, сторонником аксиоматического метода не только в математике, но и в науке в целом. Под его покровительством этот метод распространился от корней до кроны математического дерева. Но, оставив в стороне брешь, обнаруженную Гёделем, следует сказать, что аксиоматизм Гильберта не сочетается с рутиной математика — с тем, с чем он сталкивается постоянно.

Если мы посмотрим на математика за работой, поскольку статьи — всего лишь продукты его деятельности, то удивимся, сколько неформальных рассуждений он выдает. Что доказывают ограничительные теоремы Гёделя или Тарского для математика в действии? Что математика — слишком крупный кролик для того, чтобы вытащить его из столь маленького цилиндра аксиоматической системы, каким бы ловким ни был этот фокусник Гильберт. Более того, аксиоматика возможна, только если ей предшествовала фаза работы с моделью, то есть аксиомы чисел могут быть сформулированы, если уже есть некоторое представление о том объекте, с которым мы имеем дело. Генетический метод предшествует аксиоматическому, и замена первого вторым предполагает похищение честно заработанного (аксиоматика немедленно присваивает себе все построенное).

Могила Гильберта в Гёттингене. У основания памятника высечена знаменитая фраза «Мы должны знать. Мы будем знать».

Альфред Тарский и Курт Гёдель в Вене в 1935 году. Своими ограничительными теоремами оба поспособствовали разрушению возведенной Г ильбертом конструкции математики.

Давид Гильберт, 1930-е годы. 

БУРБАКИ