Игра в имитацию

Скорее всего, Алан поделился своей идеей с Титчмаршем, поскольку в своем письме от 1 декабря 1937 года он с одобрением отнесся к программе Алана и заметил: «Я видел такую машину предсказания приливов в Ливерпуле, но мне даже в голову не могло прийти, что ее можно использовать подобным образом».

Вместе с тем, в его жизни оставалось место и для развлечений. Ребята продолжали играть в хоккей, хотя без Фрэнсиса Прайса и Шона Уайли команда потеряла свою искру. Алан начал заниматься организацией матчей. Также он стал увлекаться сквошем. На День Благодарения он отправился на север навестить Джека и Мэри Кроуфордов во второй раз. («С каждым разом мне все лучше дается управление машиной.») Незадолго до Рождества Алан принял приглашение своего друга Венейбла Мартина провести несколько дней у него дома, в небольшом городке Южной Каролины.

Мы проделали весь путь за два дня, я погостил у них два или три дня, а затем снова отправился в путь, на этот раз в Вирджинию к миссис Вельбурн. Мне никогда раньше не доводилось бывать так далеко на юге — почти 34°. Все люди здесь кажутся все еще очень бедными, несмотря на то что с момента завершения Гражданской войны прошло так времени.

Миссис Вельбурн была известна как «загадочная женщина из Вирджинии», которая по традиции приглашала английских студентов из Колледжа Градуейт к себе на Рождество. «Ни с одним из них мне не удалось завязать интересной беседы», — признавался Алан, описывая Вельбурнов в письме. Вместе с Уиллом Джонсом Алан снова устроил поиск сокровищ, хотя в этом году она и не вызвала большого ажиотажа. Примечательно, что одну из подсказок Алан спрятал в своем сборнике пьес Бернарда Шоу. А уже в апреле Алан и Уилл совершили поездку с остановками в Сент-Джонс-Колледже, Аннаполисе и Вашингтоне.

Но главным делом этого года было завершение диссертационной работы на соискание ученой степени доктора наук, рассматривающей возможность преодоления силы теоремы Гёделя. Основная идея состояла в том, чтобы добавить дополнительные аксиомы в систему, которые помогли бы найти решение для «верных, но недоказуемых» утверждений. Но в этом отношении арифметика вела себя как гидра: с решением одного вопроса, на его месте тут же вырастали новые. Было не так сложно добавить аксиомы, чтобы некоторые утверждения Гёделя обрели свои доказательства. Но в таком случае теорема Гёделя станет применимой к увеличенному набору аксиом, тем самым производя очередное «верное, но недоказуемое» утверждение. Добавление конечного количества аксиом не могло решить проблему, поэтому возникла необходимость рассмотреть возможность добавления бесконечного множества аксиом.

Это было лишь первой ступенью исследования, поскольку математикам было хорошо известно, что существует великое множество возможных способов расположить «бесконечное множество» в определенном порядке. Кантор обнаружил эту особенность, когда исследовал понятие упорядочивания целых чисел. К примеру, предположим, что целые числа расположены следующим образом: сначала идут все четные числа в порядке возрастания, а затем уже все нечетные числа. Такой список целых чисел будет буквально в два раза длиннее обычного. Его можно сделать и в три раза длиннее или даже длиннее в бесконечное количество раз, указав сначала все четные числа, затем из оставшихся — все числа, делимые на три, затем из оставшихся — все числа, делимые на пять, затем из оставшихся — все числа, делимые на семь, и так далее. Действительно, такой список мог продолжаться до бесконечности. Подобным образом расширение аксиоматики может быть представлено одним бесконечным списком аксиом, одним или двумя, или же бесконечным числом списков — в этом отношении тоже не существовало пределов. Но вопрос оставался прежним: сможет ли хоть один из таких списков преодолеть результат Гёделя.

Кантор применил по отношению к своим разным упорядочениям целых чисел понятие «порядковых чисел», или «ординалов». Подобным образом Алан назвал свои расширения набора аксиом арифметики «ординальными логиками». В некоторым смысле было ясно, что ни одна «ординальная логика» не может быть «полной» в рамках программы Гильберта. Если и существует бесконечное множество аксиом, все они не могут быть записаны. Здесь появлялась необходимость установить правило, ограничивающее их генерирование. Но в таком случае вся система снова будет основываться на конечном наборе правил, так что теорема Гёделя все еще будет применимой для доказательства существования недоказуемых утверждений.