Игра в имитацию

Для использования в шифров ании идея оказалась довольно неудачной, особенно если учитывать его громкие заявления, изложенные годом ранее в письме к матери. Неужели он не учитывал способность немцев найти самый большой общий множитель двух и большего количества чисел, чтобы найти «секретное число», использованное в качестве ключа к шифру? И даже учитывая возможность произвести все возможные дополнительные улучшения, чтобы закрыть эту лазейку, идея все равно будет иметь практический недостаток, сводящий на нет всю работу, который заключался в том, что всего лишь одна ошибка в ряде цифр могла привести к тому, что все сообщение будет невозможно расшифровать.

Возможно, причина непродуманности работы состояла в том, что это был лишь сторонний проект и он не имел возможности уделить ему достаточно пристальное внимание. Но как читатель журнала «Нью-стейтмен», который он выписывал из Англии, у него не было особых причин сомневаться в силах Германии. Каждую неделю появлялись все более пугающие статьи о немецкой политике внутри страны и за ее пределами. И даже если перспектива заняться работой, отвечающей военным целям, была в большей мере оправданием взяться за «скучный и элементарный» (при этом невероятно увлекательный для Алана) сторонний проект, чем проявлением гражданского чувства долга, он не был одинок в сложившейся ситуации, когда действия нацистской Германии разрешили сомнения относительно «нравственности».

Также в мыслях он вынашивал план создания еще одной машины, которая не имела никакого отношения к Германии, за исключением того, что ее идея проистекала из работы Римана. Задача такой машины заключалась в высчитывании дзета-функции Римана. По всей видимости, Алан усомнился в верности гипотезы Римана, хотя бы потому, что все затраченные на ее решение усилия многих математиков не принесли никакого результата. Ложность гипотезы в таком случае означала, что дзета-функция все же принимала значения нуля в некоторой точке, лежащей вне критической линии, а значит такая точка могла быть найдена путем вычисления необходимого количества значений дзета-функции.

Эта программа уже была начата другими исследователями. Разумеется, Риман сам определил местоположение нескольких начальных нулей и проверил, что все они лежат на одной критической линии. Уже в 1935–1936 годах математик из Оксфордского университета, Эдвард Титчмарш использовал машины с перфокартами, которые в то время применялись для астрономических предсказаний, чтобы показать (в точном смысле этого слова) расположение всех начальных 104 нулей на одной критической линии. Идея Алана состояла в том, чтобы проверить следующие несколько тысяч нулей в надежде найти хоть один, расположенный вне критической линии.

Проблема имела два существенных аспекта. Дзета-функция Римана была определена как сумма бесконечного числа условий, и хотя эту сумму можно было бы выразить другими различными способами, любая попытка установить их количество в некоторой степени приведет к аппроксимации. Таким образом, перед математиком стояла задача найти «правильную» аппроксимацию и доказать, что ее можно использовать: допустимая погрешность должна быть минимальной. В таком случае возникала необходимость выполнять не практические вычисления, а сложную техническую работу в рамках исчисления комплексных чисел. Титчмарш применил аппроксимацию, которую — сложно поверить — обнаружил среди работ Римана, пролежавших без дела в Геттингене целых семьдесят лет. Но для увеличения области вычисления до тысяч новых нулей требовалась новая аппроксимация, и Алан приступил к ее поиску.

Вторая проблема была совсем иной и заключалась в «скучного и элементарного» этапа работы выполнения практического вычисления с изменением чисел согласно формуле аппроксимации для тысячи различных записей. Как оказалось, полученная формула напоминала одну из тех, что возникала при попытке установить расположение планет, поскольку она принимала вид суммы тригонометрических функций с разными частотами колебаний. Именно по этой причине Титчмарш ухитрился проделать всю скучную рутинную работу сложения, умножения и заглядывания в таблицы косинусов при помощи метода использования перфокарт, которые использовались в планетной астрономии. Алан в свою очередь понял, что подобная проблема возникает в случае вычислений, выполняемых машиной для предсказания приливов. Приливы можно представить в виде общей суммы волн за разные отрезки времени: количество волн за день, за месяц, за год. В Ливерпуле находилась машина, производящая автоматическое их вычисление, исполняя в техническом виде математическую функцию, которая должна быть вычислена. Эта идея совсем не походила на устройство машины Тьюринга, поскольку выполняла операции на конечном и дискретном наборе символов. И Алану пришло в голову, что такую машину можно использовать для вычисления дзета-функции, тем самым избежав нудной работы выполнения операций сложения, умножения и использования таблиц косинусов.