Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Задействованная здесь алгебра входит в область исследований, называемую теорией игр. Несмотря на фривольное название этой сферы, работавших в ней математиков всегда воспринимали всерьез. В эпоху, когда никому не позволялось встречаться с коллегами по другую сторону “железного занавеса”, обе стороны понимали, что вероятность взаимного уничтожения снизится, если дать этим математикам возможность поговорить друг с другом. В 1971 году в Вильнюсе, в Литве, состоялась беспрецедентная встреча специалистов по теории игр из Америки, Европы и Советского Союза. Прошел всего год с момента подписания СССР, США и другими странами Договора о нераспространении ядерного оружия. Все стороны хотели сохранить мир, и для этого им в том числе необходимо было организовать такую встречу для своих математиков[93].

Здесь невозможно описать, какой вклад в математику они внесли. Многие их выкладки настолько сложны, что их подробно не объясняют даже студентам-математикам, пока они учатся на младших курсах. Одни из них связаны с выработкой наилучшего ответа на угрозу при всех смягчающих обстоятельствах. Другие – с оптимизацией объемов ядерных запасов в условиях взаимного недоверия. Третьи позволяют понять, в разработку каких контрмер стоит вкладываться и как именно их применять.

В разные годы над алгеброй гонки вооружений поработало немало математиков, но Джон Нэш стоит на ступеньку выше всех остальных. Дело в том, что он доказал существование знаменитого “равновесия Нэша” – алгебраического способа найти лучшее решение дилеммы в условиях, когда две стороны не доверяют друг другу. В нем задействуется сложная форма линейной алгебры и описывается сценарий, в котором противники оказываются в ситуации, когда ни один из них не может улучшить свое положение. Равновесная стратегия может быть неоптимальной для конкретного игрока, но при этом единственной, в которой ситуация не становится хуже. Равновесие Нэша не удовлетворяет ни одну из сторон, но все-таки ни одна из сторон не собирается ничего предпринимать, поскольку сложившееся положение – меньшее из зол.

Выявив условия для существования равновесия Нэша и описав стратегии, которые позволяют к нему прийти, Джон Нэш получил Нобелевскую премию по экономике и вошел в историю, хотя его вклад и остается недооцененным. Нэш предоставил обеим сторонам конфликта в холодной войне неопровержимое доказательство того, что им следует смириться с прохладной разрядкой и больше не предпринимать никаких шагов. По сути, он сделал мир безопаснее с помощью алгебры. Сдается мне, Никколо Тарталье это пришлось бы по нраву.

Последняя теорема Ферма

В заключение мне хочется заверить вас, что порой даже простейшая на первый взгляд алгебра заводит профессиональных математиков в тупик. Возможно, вы слышали о последней теореме Ферма? Описать ее очень просто, однако на поиск решения у человечества ушло несколько сотен лет.

Французский математик Пьер Ферма был великим ученым, но отказывался публиковать свои работы. После смерти Ферма в 1665 году его сын Самуэль решил собрать все бумаги отца и опубликовать наиболее значимые выводы. Просматривая экземпляр “Арифметики” Диофанта из отцовской библиотеки, Самуэль обнаружил на полях заметку на латыни. В ней говорилось: “Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него”.

Сегодня мы записываем утверждение Ферма следующим образом: в уравнении

x

ⁿ + yⁿ = zⁿ

невозможно найти x, y и z при n больше 2, если считать, что корнями могут быть только целые числа, отличные от нуля.

Ферма утверждал, что может доказать различные теоремы, и во множестве других заметок, и математики, изучавшие его бумаги, в конце концов смогли найти все доказательства, за исключением доказательства, связанного с уравнением Диофанта. Так эта задача и стала называться последней теоремой Ферма.

Сразу ясно, что при n = 2 у нас получится пифагоров треугольник со сторонами 3, 4 и 5, поскольку 3² + 4² = 5². Неужели так сложно найти другие корни? Этим вопросом математик Эндрю Уайлс, который в итоге все же доказал последнюю теорему Ферма, задавался еще с 1963 года, когда в 10 лет нашел книгу о задаче в местной библиотеке. “В тот момент я понял, что никогда не забуду об этом, – сказал он. – Я должен был ее доказать”[94].

Уайлс работал над задачей до 1995 года – как одержимый, в одиночестве, в тайне от всех. Теперь он стал знаменитостью в математическом мире, и все-таки даже ему не под силу ответить на один вопрос об этой теореме: правда ли у самого Ферма имелось доказательство, которое оказалось утраченным?