История греческой философии в её связи с наукой

Указав на различие между теоремами и проблемами, Прокл переходит к рассмотрению аксиом и постулатов. "Общим для аксиом и постулатов, - пишет он, - является то, что они не нуждаются ни в каком обосновании и ни в каком геометрическом доказательстве, но что они принимаются как известные и являются началами для последующего. Но аксиомы отличаются от постулатов так же, как теоремы от проблем. А именно, подобно тому как в случае теорем мы ставили задачу усмотреть и понять следствие из предпосылок, а в случае проблем получаем требование что-то найти и сделать, точно так же и в случае аксиом принимается то, что сразу видно и не представляет никаких затруднений для нашего необученного (ungeschulten) мышления. Но в случае постулатов мы пытаемся найти то, что легко получить и установить и относительно чего рассудок не затрудняется, не нуждается ни в каком сложном методе и ни в какой конструкции".

Если мы оставим в стороне весьма сложный и на протяжении многих веков дискутировавшийся среди математиков и философов вопрос о двух последних постулатах (4 и 5-й) и некоторых аксиомах (7 и 9-·), то с различением, которое здесь приводит Прокл, трудно не согласиться.

Из дальнейшего сообщения Прокла мы узнаем, что еще до Евклида греческие математики и философы обсуждали значение недоказуемых предпосылок в геометрии. Ученик Платона Спевсипп не соглашался с математиком Менехмом, учеником Евдокса; их спор был продолжением полемики самого Платона с Архитом, Евдоксом и другими математиками относительно применимости в геометрии принципа построения. Во всяком случае, Г.Г. Цейтен считает, что спор между Менехмом и Спевсиппом подобен тому, который начался еще раньше между Евдоксом и Платоном, и что этот спор касается доказательства существования геометрических объектов. "...Платоники, - пишет Цейтен, утверждали, что равносторонний треугольник существует до построения его, Менехм же, очевидно, должен был доказывать, что в его реальном существовании мы убеждаемся, лишь построив его и доказав при этом, что это построение приводит действительно к преследуемой им цели. Но так именно поступает Евклид: он не довольствуется определением равносторонних треугольников; прежде чем начать пользоваться ими, он убеждается в их существовании, решив в первой теореме своей первой книги задачу о построении этих треугольников; затем он доказывает правильность этого построения".

Цейтен считает, что этот спор имеет принципиальное значение с точки зрения платоника Спевсиппа, существование геометрических объектов (того же равностороннего треугольника) не может быть доказано с помощью построения, ибо геометрические объекты тождественны идеям и существуют от века, а Менехм и вслед за ним Евклид не согласны со Спевсиппом. Что касается названных математиков, то их позицию Цейтен характеризует следующим образом: "Основное значение геометрического построения заключается в доказательстве реального существования того самого объекта, к нахождению которого приводит это построение". К этой позиции присоединяется и сам Цейтен, считая, что постулаты Евклида представляют собой доказательства существования геометрических объектов: первый постулат - доказательство существования отрезка прямой, второй - неограниченно продолженной прямой, третий - круга.

И действительно, у Прокла по этому поводу читаем: Спевсипп и Амфином "придерживались того взгляда, что наукам о духовном (Geisteswissenschaften) приличествует скорее название теорем, чем проблем, поскольку они занимаются непреходящим предметом. Ибо в сфере непреходящего не существует становления, так что в ней нет места для проблемы, которая предполагает становление и создание чего-то такого, чего до этого не было, как, например, построение равностороннего треугольника или построение квадрата с данной стороной... Согласно им, следовательно, правильнее сказать, что все есть одно и то же и что мы рассматриваем его становление не деятельным, а познающим способом, тем, что берем вечно сущее как нечто становящееся, поэтому мы скажем, что все следует брать в смысле теорем, а не проблем. Другие же, как, например, школа математики Менехма, хотят характеризовать весь комплекс как проблемы. Но задача при этом является двойственной: она означает то изобретение чего-то искомого, то исследование определенного объекта с целью узнать, что он такое, или каким свойством обладает, или в каком отношении он находится к другому объекту".

В приведенном отрывке мы находим положения, проливающие дополнительный свет на позицию Спевсиппа: когда мы обращаемся к геометрическому объекту, например равностороннему треугольнику, то мы не просто познаем вечно-сущую идею, а "берем вечно-сущее как нечто становящееся". Главное расхождение Спевсиппа с Менехмом касается, стало быть, не вопроса о том, что такое треугольник: вечно-сущая идея или конструкция, порождаемая нами самими, а вопроса о том, как понимать это рассмотрение становления - как деятельность (т.е. как построение) или как познание.