История греческой философии в её связи с наукой

Приведем еще одно разъяснение Прокла. "Возможность провести прямую из любой точки в любую точку вытекает из того, что линия есть течение точки, и прямая - равнонаправленное (gleichgerichtete) и не отклоняющееся течение. Представим, следовательно, себе, что точка совершает равнонаправленное и кратчайшее движение; тогда мы достигнем другой точки, и первое требование выполнено без всякого сложного мыслительного процесса с нашей стороны".

Вот, стало быть, что означает, согласно Проклу, первый постулат Евклида: это простейший акт представления того, как движется точка. Простейший, не требующий от нас особых усилий. Но если не нужно особых усилий, чтобы представить себе (а представление, образ относятся к сфере становления сравни у Спевсиппа), как движется точка, то нужно сделать большое усилие, чтобы понять, где же, в какой стихии эта точка движется и что такое она сама. Может быть, это шарик, катящийся по столу? Или кусок мела, который движется по доске? Но они - не точки, а чувственные вещи. Может быть, точка - это идея? Но идея не может двигаться, она не причастна миру становления, в котором только и может иметь место движение. Что же такое точка и где то место, в каком она движется?

Прокл отвечает на этот вопрос так: "Но если бы у кого-нибудь возникли затруднения относительно того, как мы вносим движение в неподвижный геометрический мир и как мы движем то, что не имеет частей (а именно точку) - ибо это ведь совершенно немыслимо, то мы попросим его не слишком огорчаться... Мы должны представлять движение не телесно, а в воображении (kЕnhsiV fantastik ); и мы не можем признать, что не имеющее частей (точка) подвержено телесному движению, скорее оно подлежит движениям фантазии. Ибо неделимый ум (noаV) движется, хотя и не способом перемещения; также и фантазия, соответственно своему неделимому бытию, имеет свое собственное движение".

Таким образом, движение геометрической точки совершается не в умопостигаемом мире, но и не в мире телесном; оно совершается в воображаемом мире: точка движется в фантазии. Такое название у Прокла получила способность, которая, согласно Платону, подобна сну. И в прямом соответствии с утверждением Платона, что чертежи на песке представляют собой только чувственные подобия геометрических фигур, Прокл далее говорит о том, что телесное движение карандаша по бумаге есть лишь телесный аналог, телесный образ движения бестелесной точки по бестелесной "бумаге" пространству, т.е. движение, совершаемое в фантазии.

Промежуточная способность теперь названа "фантазией", а промежуточное бытие - "интеллигибельной материей". Нам думается, что хотя термины эти принадлежат Проклу, но онтологический статус объектов геометрии определен им вполне в духе философии математики Платона. Если позиция Спевсиппа в некоторых пунктах и не вполне совпадала с платоновской, то в рассматриваемом вопросе она, как нам кажется, весьма близка к платоновской.

Теперь к вопросу о линейке и циркуле: видимо, Платон признавал эти инструменты подходящими только для того, чтобы представить нашему "телесному зрению" те фигуры, которые мы реально "порождаем" в фантазии; чертежи на песке или на бумаге казались ему чем-то вроде "вторых подобий" так же, как и произведения искусства. Почему вторых? Потому что даже движение точки в фантазии есть нечто вторичное, оно предполагает материю, хотя и "интеллигибельную"; а движение стилета по восковой дощечке есть уже чувственное подобие движения точки в фантазии.

Исходя из сказанного, можно сделать следующий важный вывод: древнегреческая наука принципиально не могла последовательно провести мысль о том, что геометрический объект - точка - движется в материальном мире. Даже у Архимеда и Герона еще не было той формы связи между механикой и геометрией, какая возникла только в эпоху Возрождения и благодаря которой стало возможным совсем новое истолкование математической программы античности.

Иерархия математических наук

Мы выяснили, в чем Платон видел различие между числами и геометрическими фигурами. Понятно, что различие в онтологическом статусе арифметических и геометрических объектов должно обусловливать, согласно Платону, также и познавательную значимость этих двух математических наук. Арифметика поэтому является первой в ряду наук и наиболее логически обоснованной. Что касается геометрии, то она не имеет строго логического обоснования, ибо ее элементы нуждаются для своего обоснования также в "интеллигибельной материи" пространстве. Для геометрии наглядность ("созерцание") необходима, для арифметики - нет. Тем не менее все математические науки имеют в глазах Платона высокий ценностный статус: все они в той или иной мере причастны к постижению высшего бытия, а потому и должны почитаться как средства к высшему познанию.