Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Какой смыслъ и какая цль въ подобномъ подписываніи множителя сбоку? Объ этомъ догадаться не трудно. У насъ въ примр взято двузначное число 97, а иногда случается вмсто него брать трехзначное, четырехзначное и т. д.; тогда легко бываетъ забыть, на какія цифры мы уже умножали, и на какія осталось умножать; чтобы не забыть, Петценштейнеръ и пишетъ каждую цифру при своемъ произведеніи. Еще ране его Радульфъ Лаонскій († 1131) предлагалъ, впрочемъ на абак, особенные кружки изъ дерева или изъ камня, чтобы приставлять ихъ къ тмъ разрядамъ множимаго и множителя, которые перемножаются. Надо сознаться, что Адамъ Ризе уступаетъ Петценштейнеру въ его заботахъ о множител, и наши школьники по способу Адама Ризе нердко пропускаютъ, особенно на первыхъ порахъ, цифры множителя. Для нихъ тоже не мшало бы на первое время, когда они еще учатся умиожать, пользоваться чмъ-нибудь въ род бумажки, чтобы они могли закрывать т раз-ряды, на которые еще не умножали.

4. Четвертый способъ принадлежитъ Кебелю, нмецкому ученому XVI вка. Множимое и множитель пишутся такъ же, какъ и у насъ, но въ произведеніи порядокъ подписыванія нарушается, и единицы отступаютъ вправо, вмсто того, чтобъ имъ стоять подъ единицами. Зачмъ это понадобилось Кебелю, и понять нельзя: нтъ въ зтой форм ни удобства, ни вообще какой-нибудь замтной цли; единственно, что тутъ можно думать, это то, что Кебель захотлъ изобрсти свой способъ и изобрлъ довольно неудачный.

Впрочемъ, на способ Кебеля учащіеся могутъ убдиться въ томъ, что неполныя произведенія можно подписывать какъ угодно, и не подъ разрядами производителей, лишь бы только выполнялось условіе, что единицы складываются съ единицами, десятки съ десятками, и т. д.

5. Пятый способъ отличается еще большей свободой въ подписываніи, въ немъ и отдльныя произведенія располагаются прямо другъ подъ другомъ, не обращая вниманія на то, что единицы оказались наискось отъ единицъ и десятки наискось отъ десятковъ; разумется, для отвта оно безразлично, складывать ли разряды вертикально или наклонно, лишь бы только не сложить единицъ съ дееятками; есть въ этомъ способ много оригинальности и пожалуй изящества, но мало удобства. Названіе его «per quadrilatero» и если перевести это выраженіе съ итальянскаго языка на русскій, то оно будетъ значить «способъ четыреугольника».

Прежде всего чертится ршетка; потомъ въ ней располагаются отдльныя произведенія такъ, что ихъ крайнія цифры стоятъ другъ подъ другомъ вертикально; сложеніе разрядовъ идетъ наискось, и цифры произведенія размщаются вправо и внизу; читать ихъ надо слва. Все это очень интересно, но для практическаго примненія мало годится. Это скорй ариметическое украшеніе, забава.

6. Вс предыдущіе пять способовъ требуютъ такого жъ основного порядка умноженія, какой и мы примняемъ всегда у себя; разница только въ подписываніи данныхъ чиселъ и искомыхъ: въ то время, какъ мы стремимся все расположить въ вертикальныхъ колоннахъ, Петценштейнеръ выноситъ множителя на сторону, Кебель отступаетъ съ произведеніемъ вправо, а по способу «четырехуголъника» разряды пишутся въ діагональномъ направленіи, т.-е. наискось; но везд умноженіе начинается неизмнно съ низшихъ разрядовъ. Теперь мы обратимся къ случаямъ, когда оно начинается съ высшихъ разрядовъ, а не съ низшихъ. Это бываетъ и у насъ, но только при томъ условіи, если не приходится перечеркивать и исправлять написанныхъ цифръ. А цифръ не бываетъ, во-первыхъ, при устномъ счет и, во-вторыхъ, при выкладкахъ на счетахъ. Поэтому въ обоихъ этихъ случаяхъ удобно начинать умноженіе съ высшихъ разрядовъ, тмъ боле, что и выговариваніе чиселъ и откладываніе ихъ на счетахъ идетъ все съ высшихъ разрядовъ. Но письменное умноженіе начинать съ лвой руки неудобно, потому что, если, напр., мы умножимъ десятки и запишемъ ихъ и потомъ перейдемъ къ единицамъ, то отъ умноженія единицъ могутъ получиться еще десятки, и намъ придется написанную цифру десятковъ стирать и замнять новой.

Далеко не безразлично, съ какихъ разрядовъ множимаго начинать письменное дйствіе, съ высшихъ или низшихъ. Послднее удобне. Что касается множителя, то въ сущности одна привычка заставляетъ насъ начинать съ единицъ, потому что можно съ такимъ же правомъ умножать сперва на высшіе разряды множителя и потомъ постепенно переходить къ низшимъ, лишь бы врно подписывать произведенія, т.-е. десятки подъ десятками, а единицы подъ единицами. Покажемъ это на примр:

Еще видне въ многозначныхъ числахъ:

7. Седьмой способъ принадлежитъ Вендлеру и отличается отъ шестого единственно тмъ же самымъ, чмъ второй отъ перваго, именно лишними нулями на мст десятковъ, сотенъ и т. д. Если вписать эти нули, то 33x4567 изобразится въ такомъ вид: