Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

13. Стоило только математикамъ попасть на одну геометрическую фигуру, на треугольникъ, и они принялись изобртать всевозможныя формы: уголъ, ромбъ и т. д. Наперерывъ, одинъ передъ другимъ, школьные педагоги въ Германіи и Италіи ХVІ—XVII вка стали предлагать хитроумные, фигурные способы, въ которыхъ не имлось въ виду удобства, а требовалось только представить что-нибудь новое и замысловатое. Нкоторые педагоги получили даже своеобразную извстность въ этомъ направленіи. Такъ итальянецъ Тарталіа училъ въ своей школ 8 способамъ; столькимъ же училъ и Лука-де-Бурго; но вычислять по нимъ они своихъ учениковъ не заставляли, кром одного способа или двухъ, и приводили остальные только по установившемуся обычаю или изъ хвастовства.

Расположеніе угломъ достигалось благодаря тому, что произведеніе простыхъ единицъ отодвигалось вправо, а остальные разряды писались симметрично вверху и внизу. Вотъ форма угла при умноженіи 456 на 97.

Первое произведеніе 36 составилось изъ множителей 4 и 9, второе — изъ 5 и 9, третье — изъ 6 и 9. Такимъ образомъ, мы помножили на десятки и начали дйствіе въ этомъ случа съ сотенъ множимаго; дале умножаемъ на единицы, но ведемъ уже въ обратномъ порядк, именно, начинаемъ съ единицъ множимаго и постепенно добираемся до его сотенъ.

14. Четырнадцатый способъ—ромба. Онъ еще замысловате, чмъ предыдущіе. Нужна особенная внимательность, да и знаніе секрета, какъ составлять ромбъ. Если помножить 456 на 397, то ромбъ можетъ получиться слдующимъ путемъ. Вверху пишется произведеніе 4 сотенъ на 7 единицъ, подъ нимъ произведеиіе 5 десятковъ на 3 сотни и на 7 единицъ; въ длинной строк помщается 4 с. x 3 с., 5 дес. x 9 дес. и 6 ед. x 7 ед.; дале располагаются и остальныя произведенія. Все это очень сбивчиво и неудобно, даетъ массу ошибокъ въ вычисленіи, которыя найти потомъ такъ нелегко, что лучше все бросить и сдлать снова. Съ непривычки дло долго не клеится, отвта не выходитъ, но, зато, въ конц ученикъ иметъ право похвастать: у него получился ромбъ.

15. До сихъ поръ мы подписывали отдльныя произведенія внизу подъ множимымъ и множителемъ, и на это, конечно, у насъ была причина, потому что вс люди начинаютъ писать съ верхней стороны листа и постепенно спускаются книзу, гд мсто свободное, неисписанное. Но отвтъ получится одинаково врный и въ томъ случа, если, не жаля бумаги, мы начнемъ дйствіе пониже и оставимъ мсто для отдльныхъ произведеній выше производителей. Получится у насъ такъ:

Способъ этотъ указалъ Глареанъ въ ХIІ в. Вычисленіе начинается справа, съ низшихъ разрядовъ; отвтъ въ самомъ низу.

16. Шестнадцатый способъ очень сходенъ съ предыдущимъ и является его предшественникомъ по времени, такъ какъ образовался въ XV вк. Его даетъ ученый арабъ Алькальцади изъ Андалузіи Особенность въ немъ та, что множимое переписывается нсколко разъ и притомъ столько разъ, сколько цифръ во множител. И еще есть особенность: множитель не стоитъ подъ множимымъ, а располагается выше его; кром того, отдльныя произведенія разсяны по разнымъ строкамъ.

Множимое, повидимому, передвигается за тмъ, чтобы не сбиться, какой разрядъ множить на какой. Впрочемъ, выгоды отъ этого передвиженія особенной не представляется.

17. Въ высшей степени искусственная запись встрчается у Баскары, индусскаго автора, жившаго въ XII вк. Это та же ршетка, что и въ 5 способ, но только съ полными цифрами, безъ всякаго пропуска и сокращенія. У итальянцевъ она называлась «gelosia», по образцу фигурныхъ ршетокъ, бывшихъ въ окнахъ средневковыхъ теремовъ.

Множимое 456 мы пишемъ вверху, множителя 97 съ лвой стороны. Каждый разрядъ числа 456 множится на каждый разрядъ 97-ми. Всего образуется 6 отдльныхъ произведеній. Ихъ мы пишемъ полностью по клткамъ, такъ, чтобы всякое произведеніе стояло противъ тхъ разрядовъ, отъ которыхъ оно получилось; напримръ, шестью семь 42, ставимъ это число подъ 6-ю и притомъ въ верхней строк, потому что множитель 7 стоитъ въ этой строк съ лвой ея стороны, 2 помщаемъ въ верхнемъ правомъ углу клтки, а 4 десятка въ нижнемъ лвомъ. Такъ же ведемъ дйствіе и съ остальными разрядами. Чтобы получить отвтъ, стоитъ только сложить числа въ діагональномъ порядк наискось: 2 единицы сносимъ, 5+4+4 = 13 десятковъ, изъ нихъ 3 пишемъ; 8+3+5+5+1 = 22 сотни; 2 пишемъ; тысячъ будетъ 2+6+4+2=14, 4 пишемъ и, наконецъ, десятковъ тысячъ 3+1, всего 4. Искомое произведеніе выразится пятью цифрами: 44232. Способъ этотъ, какъ видно, очень сложный, фигурный и сбивчивый. Надо твердо помнить и хорошо привыкнуть къ тому, какъ чертится ршетка, какъ пишутся производители, гд помщаются отдльныя произведенія, и какъ читается отвтъ; стоитъ только немного не остеречься, забыть, и тогда вс разряды перепутываются, и никакъ нельзя будетъ отличить, гд единицы, гд десятки, и что складывать съ чмъ. Вообще это вовсе не дловой способъ и не школьный, а скоре плодъ математической изобртательности и развлеченіе въ математик, которая въ средніе вка была особенно суха и недоступна, а подобныя выдумки ее оживляли.