Как же называется эта книга?

Докажите, что либо один из них говорит правду, но это не рыцарь, либо один из них лжет, но это не лжец.

42. Табель о рангах

На одном острове, где живут рыцари, лжецы и обычные люди, лжецы считаются особами низшего ранга, обычные люди – особами среднего ранга и рыцари – особами высшего ранга.

Мне очень нравится следующая задача. Двое людей А и В, о каждом из которых известно, что он либо лжец, либо обычный человек, высказывают утверждения:

А: По рангу я ниже, чем В.

В: Неправда!

Можно ли определить ранг А или В? Можно ли установить, истинно или ложно каждое из этих двух утверждений?

43

Трое людей А, В и С, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец, либо обычный человек, высказывают следующие утверждения:

А: В по рангу выше, чем С.

В: С по рангу выше, чем А.

Затем у С спрашивают: «Кто старше по рангу – А или В?» Что ответит С?

В. ОСТРОВ БАХАВА

На острове Бахава женщины во всем пользуются равными правами с мужчинами, поэтому женщин, как и мужчин, называют рыцарями, лжецами и обычными людьми. В глубокой древности одна из правительниц острова Бахава по собственной прихоти издала указ, по которому рыцарю разрешалось вступать в брак только с лжецом, а лжецу – только с рыцарем (следовательно, нормальный человек мог вступать в брак только с обычным человеком). С тех пор в любой супружеской чете на острове Бахава либо оба супруга – обычные люди, либо один из супругов – рыцарь, а другой – лжец.

Следующие три истории происходят на острове Бахава.

44

Рассмотрим сначала супружескую чету – мистера и миссис А. Они высказывают следующие утверждения:

М и с т е р А: Моя жена – не обычный человек.

М и с с и с А: Мой муж – не обычный человек.

Кто такой мистер А и кто такая миссис А – рыцарь, лжец или обычный человек?

45

Предположим, что мистер и миссис А высказали следующие утверждения:

М и с т е р А: Моя жена – обычный человек.

М и с с и с А: Мой муж – обычный человек.

Совпадает ли ответ этой задачи с ответом предыдущей задачи?

46

В этой задаче речь пойдет о двух супружеских парах с острова Бахава: мистере и миссис А, мистере и миссис В. При опросе трое из них дали следующие показания:

М и с т е р А: Мистер В – рыцарь.

М и с с и с А: Мой муж прав: мистер В – рыцарь.

М и с с и с В: Что верно, то верно. Мой муж действительно рыцарь.

Кто каждый из этих четырех людей – рыцарь, лжец или обычный человек и какие из трех высказываний истинны?

РЕШЕНИЯ

26. Ни рыцарь, ни лжец не могут сказать: «Я лжец» (высказав подобное утверждение, рыцарь солгал бы, а лжец изрек бы истину). Следовательно, А, кем бы он ни был, не мог сказать о себе, что он лжец. Поэтому В, утверждая, будто А назвал себя лжецом, заведомо лгал. Значит, В – лжец. А так как С сказал, что В лгал, когда тот действительно лгал, то С изрек истину. Следовательно, С – рыцарь. Таким образом, В – лжец, а С – рыцарь. (Установить, кем был А, не представляется возможным.)

27. Ответ в этой задаче такой же, как в предыдущей, но ход рассуждений несколько иной.

Прежде всего заметим, что В и С не могут быть оба рыцарями или оба лжецами, так как В противоречит С. Следовательно, В и С не могут быть оба рыцарями или оба лжецами: один из них рыцарь, а другой – лжец. Если бы А был рыцарем, то всего было бы два рыцаря. Следовательно, А не лгал и сказал, что среди троих персонажей рыцарь лишь один. С другой стороны, если бы А был лжецом, то утверждение о том, что из трех островитян А, В и С рыцарь лишь один, было бы истинным. Но тогда А, будучи лжецом, не мог бы высказать это истинное утверждение. Следовательно, на вопрос незнакомца А не мог ответить: «Среди нас один рыцарь». Следовательно, В неверно передал высказывание А, из чего мы заключаем, что В – лжец, а С – рыцарь.

28. Предположим, что А – лжец. Если бы это было так, то утверждение «По крайней мере один из нас лжец» было бы ложным (так как лжецы высказывают ложные утверждения). Следовательно, в этом случае А и В были бы рыцарями. Таким образом, если бы А был лжецом, то он не был бы лжецом, что невозможно. Отсюда мы заключаем, что А не лжец, он рыцарь. Но тогда высказанное А утверждение должно быть истинным. Поэтому по крайней мере один из двух персонажей А и В в действительности лжец. Так как А – рыцарь, то лжецом должен быть В. Итак, А – рыцарь, а В – лжец.

29. Эта задача может служить неплохим введением в логику дизъюнкции. Пусть заданы два высказывания р, q. Высказывание «или р, или q» истинно, если истинно по крайней мере одно из высказываний р, q (или оба). Высказывание «или р, или q» ложно, если ложны оба высказывания р, q. Например, если бы я в хорошую погоду сказал: «Либо дождик, либо снег», то мое высказывание было бы ложным, потому что ложны обе его части: и та, в которой говорится о дожде, и та, в которой говорится о снеге.