Как же называется эта книга?

Где ошибка в приведенных мною рассуждениях? Ошибка в том, что понятие доказуемого предложения не вполне определенно. Одна из основных задач важного раздела современной математики, известного под названием «математической логики», состоит в придании точного значения понятию доказательства. Вполне строгого универсального определения доказательства, применимого к любым математическим системам, пока не существует. В современной математической логике принято говорить о доказуемости в рамках данной системы. Предположим, что у нас имеется система (назовем ее системой S), в которой строго определено, что такое доказуемость в рамках системы S. Предположим также, что система S непротиворечива, то есть что всякое доказуемое в S предложение действительно истинно. Рассмотрим следующее предложение:

Это предложение недоказуемо в системе S.

Никакого парадокса теперь не возникает, хотя это предложение обладает одним довольно интересным свойством. Дело в том, что оно должно быть истинным, но недоказуемым в системе S. Оно представляет собой грубый аналог предложения X (содержащего утверждение о собственной недоказуемости не вообще, а в рамках системы S), построенного Гёделем в первоначальном варианте доказательства его знаменитой теоремы.

Несколько слов я хотел бы сказать о «дважды гёделевом» условии, которое мы анализировали в разделе Б. Дело в том, что полученный Гёделем результат справедлив не только для гёделевых систем (гёделевой я называю систему, в которой для любого определимого множества А найдется предложение, истинное в том и только в том случае, если его гёделев номер принадлежит А), но и для дважды гёделевых систем (дважды гёделевой я называю систему, в которой для любых определимых множеств А, В найдутся предложения X, Y, такие, что X истинно в том и только в том случае, если гёделев номер предложения Y принадлежит A, a Y истинно в том и только в том случае, если гёделев номер предложения X принадлежит В). Располагая дважды гёделевой системой, мы можем (используя условия E₁

, Е₂ и С) построить два предложения X, Y, такие, что X будет содержать утверждение о доказуемости предложения Y (при этом я понимаю, что X истинно в том и только в том случае, если Y доказуемо), a Y будет содержать утверждение о недоказуемости предложения X. Одно из предложений (какое именно – неизвестно) X и Y должно быть истинно, но недоказуемо. Можно поступить иначе и построить два предложения X, Y, такие, что X будет содержать утверждение об опровержимости предложения Y, a Y будет содержать утверждение о неопровержимости предложения X. По крайней мере одно из предложений X, Y (какое именно – неизвестно) должно быть ложно, но неопровержимо. Возможен и еще один вариант. Не используя даже условие С, можно построить два предложения X, Y, такие, что X будет содержать утверждение о доказуемости Y, a Y – о неопровержимости X. Одно из них (какое именно – неизвестно) должно быть либо истинно, но недоказуемо, либо ложно, но неопровержимо (но каким именно набором из этих двух будет обладать предложение – неизвестно).

И последнее, о чем я хочу сказать вам, пока не забыл. Как же называется эта книга? Эта книга так и называется – «Как же называется эта книга?».