Как же называется эта книга?

Если бы число обитателей этой Вселенной было конечно, то регистратору не удалось бы осуществить свой грандиозный замысел, так как клубов было бы больше, чем обитателей Вселенной: например, если бы во всей Вселенной было только 5 обитателей, то число клубов достигало бы 32 (один клуб был бы пустым множеством). Если бы во всей Вселенной было 6 обитателей, то число клубов достигало бы 64, а во Вселенной с п обитателями число клубов составляло бы 2». Но в той Вселенной, о которой мы сейчас говорим, число обитателей было бесконечно, поэтому регистратор надеялся на благоприятный исход своей затеи. На протяжении миллиардов лет он день за днем упорно пытался осуществить свой замысел, но любая попытка неизменно оканчивалась неудачей. Чем это объясняется: недостаточно удачным выбором схемы или принципиальной неосуществимостью затеи?

Решение. Неудачи связаны с принципиальной неосуществимостью намерений регистратора. Этот замечательный математический факт был открыт математиком Георгом Кантором. Предположим, что регистратору удалось присвоить всем клубам имена обитателей Вселенной с соблюдением всех правил (никакие два клуба не названы именем одного и того же обитателя Вселенной, и у каждого обитателя есть клуб, названный его именем). Назовем обитателя Вселенной неноминабельным, если он не является членом клуба, названного в его честь. Все неноминабельные обитатели Вселенной образуют хорошо определенное множество, а мы знаем, что члены каждого множества обитателей Вселенной состоят в своем особом клубе. Следовательно, должен существовать клуб неноминабельных обитателей Вселенной, что невозможно по причинам, изложенным в задаче 260 (этот клуб должен быть назван в честь одного из обитателей Вселенной, который не может быть ни номинабельным, ни неноминабельным, так как и то и другое приводит к противоречию).

267. Задача об учтенных множествах

Перед вами та же задача в новом одеянии. Некоторые из вводимых здесь понятий понадобятся нам в следующей главе.

У одного математика хранится «Книга множеств». На каждой ее странице дается описание какого-нибудь множества чисел (под множеством чисел мы понимаем подмножество множества целых положительных чисел 1, 2, 3, …, n, …). Любое множество, описанное на какой-нибудь странице книги, называется учтенным множеством. Страницы книги перенумерованы по порядку целыми положительными числами.

Назовите множество, описания которого нет ни на одной странице «Книги множеств».

Решение. Пусть n – любое целое положительное число. Назовем n экстраординарным числом, если n принадлежит множеству, описанному на n-й странице, и ординарным, если не принадлежит множеству, описанному на n-й странице.

Множество ординарных чисел не может быть описано ни на одной странице «Книги множеств». Действительно, если бы оно было перечислено на k-й странице, то число k не могло бы быть ни экстраординарным, ни ординарным, так как и в том и в другом случае мы пришли бы к противоречию.

XVI. Открытие Гёделя

А. ГЁДЕЛЕВЫ ОСТРОВА

Задачи этого раздела представляют собой адаптированные варианты знаменитого принципа, открытого Куртом Гёделем, работу которого по математической логике мы рассмотрим в конце главы.

264. Остров G

Население острова G составляют лишь рыцари, всегда говорящие только правду, и лжецы, которые всегда лгут. Кроме того, некоторых рыцарей называют «признанными рыцарями» (они проявили себя чем-то, подтвердив свое рыцарское звание), а некоторых лжецов (подтвердивших свою приверженность ко лжи) – «отъявленными лжецами». Обитатели острова G являются членами различных клубов. Каждый островитянин может быть членом нескольких клубов. Любой островитянин X утверждает относительно любого клуба С, что он либо является членом клуба С, либо не является членом клуба С.

Известно, что выполняются следующие четыре условия:

E₁

: Все признанные рыцари являются членами одного клуба.

Е₂: Все отъявленные лжецы являются членами одного клуба.

С (условие дополнительности; С – от лат. complementum – дополнение). Все островитяне, не являющиеся членами любого клуба С, состоят в одном клубе. (Этот клуб называется дополнением клуба С и обозначается ^~С.)

G (условие гёделевости). Для любого клуба С существует по крайней мере один островитянин, который утверждает, что является членом клуба С. (Разумеется, его утверждение о членстве в клубе С может быть ложным, так как островитянин может оказаться лжецом.)

264а (по Гёделю)

1) Докажите, что на острове G существует по крайней мере один непризнанный рыцарь.

2) Докажите, что на острове существует по крайней мере один неотъявленный лжец.

264б (по Тарскому)

1) Являются ли все лжецы острова G членами одного клуба?

2) Являются ли все рыцари острова членами одного клуба?