Кантор. Бесконечность в математике.

1-1 + 1-1 + 1-.. . = (1-1)+(1-1)+(1-1)+... = 0 + 0 + 0+.. . = 0.

В этом случае мы получим 0. Или же мы можем сгруппировать так:

1-1 + 1-1 + 1-... = 1-(1-1)-(1-1)-... = 1-0-0-... = 1,

и результат будет равен 1. Какой же результат правильный: 1/2,0 или 1? Такие парадоксы мучили математиков на протяжении десятков лет, пока наконец в XIX веке не были выведены правила оперирования бесконечных сложений и вычитаний. На самом деле выражение 1-1+1-1+1-... не имеет никакого результата. Другими словами, предполагаемый результат на самом деле не существует. Рассуждения Лейбница неверны именно потому, что числа S нет.

ЕДИНСТВЕННОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

В 1860-е годы в Галле Эдуард Гейне решил проверить, всегда ли будет одинаковым разложение такого периодического графика, как ряд Фурье. Другими словами, Гейне хотел узнать, может ли один периодический график быть записан в виде двух разных тригонометрических рядов.

Ему удалось доказать, что если в графике нет «скачков» или прерывностей, то он в самом деле будет иметь только один возможный вариант разложения. Но Гейне не нашел общего доказательства, которое было бы действительным для всех возможных ситуаций. Так, он не доказал единственность в случае, если в периоде — так называется классический постоянно повторяющийся график — бесконечное (потенциально) количество разрывов. Когда в 1869 году Кантор прибыл в Галле, Гейне предложил ему разобраться, будет ли разложение периодического графика всегда единственным, даже если количество «скачков» продолжит расти до бесконечности.

Кантор занялся этой задачей и в 1870 году получил первый результат: разложение будет единственным только при условии, что скачки распределены определенным образом, то есть отвечают особым требованиям. Точки графика имеют две координаты — абсциссу и ординату. Именно абсциссы должны выполнять эти условия. Однако Кантору было непросто выразить их конкретным, точным и изящным способом. Разумеется, он хорошо понимал, что это за условия, но не находил ясных и понятных слов для их описания.

ПРОИЗВОДНЫЕ МНОЖЕСТВА

С 1870 по 1872 год Кантор опубликовал пять статей, в которых окончательно сформулировал свое решение задачи единственного способа разложения ряда Фурье. В процессе помимо прочего он нашел ответ на проблему континуума, и поэтому его определение вещественных чисел через фундаментальные последовательности было опубликовано в рамках работы по тригонометрическим рядам.

Как же он смог сформулировать условие, которому должны соответствовать абсциссы прерывных точек периодического графика, чтобы их разложение на ряд Фурье было единственно возможным? Для этого Кантор разработал понятие производного множества, очень важное для нас, поскольку оно направило его на путь, который в итоге привел его к знаковой статье 1883 года. Рассмотрим, что такое производное множество и как с его помощью ученому удалось решить заданную Гейне задачу.

В нашем случае необходимо рассматривать последовательности, состоящие из бесконечного количества чисел, различных между собой.

Возьмем множество рациональных чисел. Очевидно, что π как иррациональное число не принадлежит к этой группе, и тем не менее его можно представить в виде последовательности рациональных чисел. Мы можем найти такую последовательность, состоящую исключительно из рациональных чисел, что по мере продвижения вперед будем получать числа все ближе к π. В примере из предыдущей главы последовательность 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415;... получается путем прибавления к каждому последующему числу одного знака после запятой в числе π.

Это справедливо и для любого другого иррационального числа: мы всегда сможем приблизиться к нему через последовательность рациональных чисел. То же распространяется и на рациональные последовательности. Например, если мы возьмем число 0,75, то последовательность 0,751; 0,7501; 0,75001; 0,750001;... будет все ближе подходить к нему. То есть приближение любого вещественного числа возможно через последовательность рациональных чисел (что по сути и является решением Кантора задачи о континууме).

БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ