Хаос. Создание новой науки

Неожиданно, когда значение параметра превысило з, линия раздвоилась. Численность воображаемой стаи рыб в предыдущий и последующий годы перестала быть единой величиной и теперь колебалась между двумя точками. Стартуя с какого-то небольшого значения, она возрастала, а затем начинала колебаться и в итоге приходила к регулярным скачкам вверх и вниз. Небольшой поворот воображаемой рукоятки – небольшое увеличение параметра – еще раз расщеплял колебания, генерируя ряд чисел, приходивших в конечном счете к четырем различным значениям, каждое из которых повторялось с регулярностью раз в четыре года[127]. Теперь компьютерная популяция Мэя увеличивалась и убывала в регулярном четырехлетнем режиме. Длительность цикла вновь выросла в два раза – сначала с одного года до двух, а затем до четырех. И снова это поведение оказывалось устойчивым: какова бы ни была начальная численность популяции, с течением времени она сходилась к одному и тому же четырехлетнему циклу.

Как Лоренц и открыл десятилетием ранее, построение графика – единственное, что позволяет обнаружить в указанных результатах хоть какой-то смысл и представить их наглядно. Мэй сделал предварительный набросок, чтобы охватить все типы поведения системы при различных параметрах. Для значений параметра, возраставших слева направо, была выбрана горизонтальная ось; для численности популяции отводилась вертикальная. Каждое из значений параметра было представлено точкой, обозначавшей конечный результат после достижения системой равновесия. Слева, там, где значения еще были небольшими, результат являл собой лишь точку. Таким образом, изменения параметра отобразились в виде линии, поднимавшейся плавно слева направо. Когда значение параметра миновало первую критическую точку, Мэю пришлось вычертить кривую для двух популяций, поскольку линия раздвоилась, образовав искривленную букву Y или подобие вилки. Такое расщепление соответствовало переходу популяции от однолетнего цикла к двухлетнему.

По мере дальнейшего роста значения параметра количество точек удваивалось вновь и вновь, что просто ошеломляло ученого, поскольку столь сложное поведение таило в себе заманчивую устойчивость. Мэй назвал наблюдаемый феномен «змеей в математической траве». Каждое удвоение соответствовало разветвлению, или бифуркации[128], на графике, и каждое такое разветвление означало, что повторяющаяся последовательность распадалась надвое еще раз. Популяция, ранее бывшая устойчивой, начинала колебаться между двумя различными уровнями каждый второй год. Популяция, менявшаяся в течение двухлетнего цикла, изменялась теперь в течение третьего года и четвертого, переходя, таким образом, к четырехлетнему периоду.

Удвоение периодов и хаос. Вместо применения отдельных диаграмм для демонстрации изменений в популяциях с различной степенью воспроизводства Роберт Мэй, наряду с другими учеными, использовал так называемую бифуркационную диаграмму, чтобы соединить все данные в одном изображении. На диаграмме показано, каким образом изменение одного параметра, в данном случае – коэффициента воспроизводства популяции в дикой природе, влияет на поведение рассматриваемой простой системы в целом. Значения параметра откладывались слева направо по горизонтальной оси; значения конечной численности популяции – по вертикальной. В некотором смысле рост значения параметра знаменует усиление «движущей силы» системы, увеличение в ней нелинейного элемента. Когда это значение невелико (слева), популяция угасает. По мере его роста (в центре)популяция достигает равновесия. Затем, при дальнейшем увеличении параметра, равновесное состояние расщепляется на две ветви, подобно тому как в процессе конвекции дальнейшее нагревание жидкости делает ее нестабильной. Начинаются колебания численности популяции между двумя различными уровнями. Расщепления, или бифуркации, происходят все быстрее и быстрее. Далее система становится хаотичной (справа) – и численность особей может принимать бесконечно много разных значений.

Подобные разветвления наблюдались на графике все чаще и чаще: 4, 8, 16, 32… – и вдруг внезапно прекращались. После определенной точки, «точки накопления», периодичность уступала место хаосу, колебаниям, которые никогда не затухали, и поэтому целые зоны на графике были полностью затушеваны. Наблюдая за популяцией животных, описанной этим простейшим нелинейным уравнением, можно счесть происходящие год за годом перемены совершенно случайными, привнесенными извне. Тем не менее в самой гуще подобной беспорядочности вновь появляются стабильные циклы. Так, хотя параметр продолжает возрастать, увеличивая нелинейность системы, неожиданно обозначается просвет с регулярным, хотя и странным периодом вроде 3 или Модель меняющейся популяции повторяет саму себя в течение трехлетнего или семилетнего цикла. Затем снова, но уже в более высоком темпе, начинаются разветвления, которые удваивают период, быстро минуя новые циклы (3, 6, 12… или 7, 14, 28…) и вновь обрываясь с рождением нового хаоса.