Хаос. Создание новой науки

Как любил повторять Мандельброт, облака далеки по своей форме от сфер, горы совсем не конусы, а молния отнюдь не придерживается в своем движении прямой линии[151]. Новая гeoметрия отражает грубые и шершавые очертания Вселенной, а не гладкие и круглые. Зарождающуюся науку можно назвать геометрией отверстий, выщербин, разломов и переплетений. Пониманию сложной природы живого мира недоставало одного лишь предположения, что сложность – это не что-то случайное. Истинное проникновение в глубины хаоса требовало безоговорочной веры в то, что интереснейшей чертой, например, разряда молнии является не ее направление, а скорее расположение ее зигзагов. Исследования Мандельброта претендовали на новое видение действительности, указывая на то, что эти странные формы имеют особое значение. Выщербины и сплетения – это не просто какие-то изъяны идеальных форм евклидовой геометрии. Наоборот, зачастую именно они передают саму сущность явлений.

В чем состоит сущность, скажем, линии побережья? Такой вопрос Мандельброт задал в статье «Какова длина береговой линии Великобритании?», ставшей поворотным пунктом в мышлении ученого.

С феноменом береговой линии он столкнулся, изучая малоизвестную работу английского ученого Льюиса Фрая Ричардсона, вышедшую после смерти автора. Последнему удалось отыскать множество поразительных вещей, ставших впоследствии элементами хаоса. Еще в 1920-х годах Ричардсон размышлял о предсказании погоды. Он изучал турбулентность в жидкостях, бросая мешок с белыми цветами в воды канала Кейп-Код, и задавался вопросом «Имеет ли ветер скорость?» в одноименной статье 1926 года. («Спрашивать о таком, на первый взгляд, глупо, но, как оказывается, поучительно», – писал ученый.) Зачарованный изгибами береговых линий и государственных границ, Ричардсон проштудировал энциклопедии Испании и Португалии, Бельгии и Нидерландов и обнаружил, что указанные там протяженности общих границ этих стран различаются от одного справочного издания к другому на 20 %[152].

Анализ, проделанный Мандельбротом, ошеломлял. Посвященные в его результаты испытывали шок от этих умозаключений, не то до боли очевидных, не то до абсурда ложных. Как подметил ученый, на вопрос о длине береговых линий большинство людей дают один из двух стандартных ответов: «Не знаю. Это не по моей части» или «Даже не представляю. Посмотрю в энциклопедии».

На самом деле длина любой береговой линии, объяснял Мандельброт, в известном смысле бесконечно велика. Если подходить с другой стороны, ответ, конечно же, будет зависеть от величины линейки. Рассмотрим один из возможных методов измерения. Топограф, вооружившись циркулем, разводит его ножки на расстояние одного ярда и измеряет линию побережья. Полученный результат будет приблизительным, поскольку циркуль «перешагивает» изгибы и повороты, длина которых меньше ярда, но на результате, который фиксирует топограф, это не отражается. Если он разведет ножки не так широко, скажем на один фут, и повторит процедуру, конечный результат окажется больше предыдущего. Будет «схвачено» больше деталей. Чтобы покрыть расстояние, которое ранее измерялось одним шагом циркуля, потребуется уже более трех шагов длиной в один фут. Топограф записывает новый результат и, разведя ножки на четыре дюйма, снова принимается за дело. Подобный мысленный эксперимент показывает, как можно получить различные результаты при изменении масштаба исследования. Наблюдатель, пытающийся измерить длину береговой линии Великобритании с космического спутника, получит менее точный результат, чем тот, кто не поленится обойти все бухты и пляжи. Последний же, в свою очередь, проиграет улитке, оползающей каждый камешек.

Хотя результат каждый раз будет возрастать, здравый смысл подсказывает, что он неуклонно стремится к некой конечной величине – истинной длине береговой линии. Иными словами, все измерения сойдутся в одной точке. Если бы линия побережья представляла собой одну из фигур евклидовой геометрии, к примеру круг, применение вышеописанного метода сложения отрезков прямой линии, измеренных каждый раз со все большей точностью, оказалось бы успешным. Однако Мандельброт обнаружил, что при бесконечном уменьшении масштаба измерения получаемая длина береговой линии неограниченно растет. В бухтах и на полуостровах обнаруживаются мелкие бухточки и мысики – и так вплоть до размеров крошечного атома. Лишь при достижении атомного уровня измерения подойдут к концу. Возможно.

Фрактальный берег. Береговая линия сгенерирована компьютером. Детали случайны, однако фрактальная размерность постоянна, так что шершавости и неровности выглядят все теми же, независимо от степени увеличения.