Хаос. Создание новой науки

Однажды зимним днем 1975 года Мандельброт работал над своей первой монографией[155]. Он знал, что нечто похожее возникает и в физике, и понял, что должен найти некий термин, который стал бы стержнем его геометрии. Одолжив у вернувшегося из школы сына латинский словарь, Мандельброт принялся с интересом перелистывать его. Там он наткнулся на прилагательное fractus, образованное от глагола fragerе – «разбивать». Слово было созвучно английским fracture(«разрыв») и fraction(«дробь»). Так Мандельброт придумал термин fractal («фрактал»), который вошел в современные английский и французский языки.

Фрактал позволяет вообразить бесконечность.

Представьте себе равносторонний треугольник с длиной стороны в один фут. А теперь мысленно проделайте следующую вполне определенную и легко повторяемую трансформацию: выделите на каждой стороне треугольника среднюю треть и приставьте к ней равносторонний треугольник, длина стороны которого составляет одну треть от длины стороны исходной фигуры.

Результатом будет звезда Давида. Она образована уже не тремя отрезками длиной в один фут, а двенадцатью отрезками длиной в четыре дюйма, и вершин у нее не три, а шесть.

Повторите операцию, прикрепив еще меньший треугольник к средней трети каждой из двенадцати сторон. Если проделывать эту процедуру вновь и вновь, число деталей в образуемом контуре будет расти и расти, подобно тому как дробятся отрезки при построении множества Кантора. Изображение приобретает вид снежинки с геометрически идеальными очертаниями. Эта фигура известна как снежинка Коха, и названа она в честь шведского математика Хельге фон Коха, впервые описавшего ее в 1904 году.

Снежинка Коха (вверху справа и в среднем ряду)и кривая Коха (внизу; «Приблизительная, но весьма удачная модель береговой линии», как охарактеризовал ее Мандельброт). Чтобы создать снежинку Коха, начнем с построения треугольника, каждая сторона которого равна единице. В середину каждой стороны встроим новый треугольник со стороной втрое меньшей и повторим преобразования многократно. Длина контура полученной фигуры равна 3 × 4/3 × 4/3 × 4/3… и так до бесконечности. Однако ее площадь все же меньше площади окружности, описанной около первоначального треугольника. Таким образом, бесконечно длинная линия очерчивает ограниченную площадь.

Поразмыслив, можно заключить, что снежинке Коха присущи некоторые весьма занимательные черты. Прежде всего, она представляет собой непрерывную замкнутую кривую, никогда не пересекающую саму себя, так как новые треугольники на каждой стороне всегда достаточно малы и поэтому не сталкиваются друг с другом. Каждое преобразование добавляет немного пространства внутри кривой, однако ограниченная ею площадь остается конечной и фактически лишь незначительно превышает площадь первоначального треугольника. Если описать окружность около последнего, кривая никогда не растянется за ее пределы.

Но все же сама кривая Коха бесконечно длинная, как и евклидова прямая, стремящаяся к краям ничем не ограниченной Вселенной. Подобно тому как во время первой трансформации один отрезок длиной в один фут заменяется на четыре длиной в четыре дюйма, каждое последующее преобразование умножает общую длину кривой на четыре третьих. Подобный парадоксальный итог – бесконечная длина в ограниченном пространстве – в начале XX века озадачил многих математиков. Кривая Коха оказалась монстром, безжалостно поправшим все мыслимые интуитивные ощущения относительно форм и (это воспринималось как данность) непохожим на что-либо, существующее в природе.

В этих обстоятельствах не выглядит странным, что исследования некоторых упрямых математиков, придумавших иные фигуры, чьи свойства были похожи на свойства кривой Коха, также вызвали слабый отклик в научном мире в свое время. Речь идет о кривых Пеано, а также коврах и салфетках Серпинского. Для построения ковра Серпинского нужно взять квадрат и разделить его на девять равных квадратов меньшей площади, а затем удалить центральный. Далее следует повторить операцию с восьмью оставшимися квадратами, сделав в центре каждого из них отверстие. Салфетка Серпинского представляет собой примерно то же самое, но ее составляют не квадраты, а равносторонние треугольники. Она обладает качеством, которое весьма трудно представить: любая произвольная точка является точкой разветвления, своего рода вилкой в структуре. Вообразить подобное сложно, пока не посмотришь на Эйфелеву башню, хорошее трехмерное приближение: ее балки, фермы и перекрытия, разветвляясь на изящные решетчатые конструкции, являют собой мерцающую сетку тончайших деталей[156]. Эйфель, конечно же, не мог достичь бесконечности в своем творении, однако ценил тонкий инженерный подход, который позволил ему сделать сооружение менее тяжеловесным, не лишив его прочности.