Холодильник Эйнштейна

Концепция кинетической энергии весьма полезна при анализе столкновений. Представьте, например, как движущийся биток приближается к бильярдному шару, лежащему на столе. Часть кинетической энергии битка теряется в форме теплоты трения, когда биток катится по столу, часть преобразуется в звук столкновения с пребывающим в покое шаром, а часть передается этому шару, который приходит в движение. Передав часть своей кинетической энергии шару, с которым он столкнулся, биток движется все медленнее, пока не останавливается. Больцман представил частицы газа в виде идеальных бильярдных шаров, при столкновении которых кинетическая энергия не преобразуется ни в звук, ни в теплоту трения, а только передается от частицы, обладающей большей энергией, к частице, обладающей меньшей энергией.

Воздух в комнате состоит из бесконечного количества частиц, которые обмениваются кинетической энергией. Так представлял происходящее Больцман. Чтобы упростить свой анализ, он применил математическую хитрость. Он разделил количество кинетической энергии, которую переносит одна частица, на целочисленные единицы. Таким образом, у него получилось, что частица может двигаться с 1, или 6, или 35 единицами кинетической энергии, но никогда не движется с 2,3, или 5,78, или другим нецелым числом единиц.

Это упростило расчеты Больцмана и обеспечило реалистичное описание молекулярного переноса энергии. Кроме того, эта техника дала способ визуализации поведения молекул. Чтобы понять почему, представьте, что вместо большого количества молекул воздуха, движущихся с разным количеством единиц энергии, перед вами толпа толкающихся людей, в карманах у которых лежит разное число монет. Каждый человек в толпе идет в случайном направлении, но успевает сделать лишь один-два шага, а затем сталкивается с другим человеком. В такой аналогии быстрой молекуле с большим числом единиц энергии соответствует человек с большим количеством монет, а медленной — человек с небольшим количеством монет. Следовательно, горячую духовку в прохладной комнате можно представить как небольшую группу богачей, которые столпились в углу просторного зала, полного гораздо более бедных людей.

Если продолжить аналогию, то эквивалентом температуры каждой из двух групп будет среднее состояние ее членов. В каждой группе есть люди богаче и беднее среднего, подобно тому как в газах двух разных температур есть частицы, которые движутся быстрее и медленнее среднего. Быстрой молекуле, которая сталкивается с медленной и теряет часть энергии, соответствует богач, налетающий на бедняка и передающий ему часть своих монет, в результате чего богач становится беднее, а бедняк — богаче. Держа в уме эти правила, следите за деньгами.

Сначала беднее становятся лишь богачи, стоящие на краю своей группы, потому что им проще всего налететь на окружающих их бедняков. Благодаря тем же столкновениям бедняки на краю своей группы становятся немного богаче. Столкновений происходит слишком много, и уследить за всеми невозможно, но при этом можно предсказать, как распределение монет в толпе изменится со временем.

Рано или поздно передача денег, которая сначала происходит главным образом на границе между богачами и бедняками, охватит большее пространство. Стоящие дальше от края группы богачи тоже начнут терять деньги, поскольку их соседи на границе станут не такими богатыми, как раньше. Подобным образом бедняки с границы быстро потеряют нажитое, сталкиваясь с соседями из “бедной глубинки”. Вскоре все деньги, которые были сосредоточены в руках богачей, разделят между собой бедняки.

Чтобы закрепить результаты мысленного эксперимента, уменьшите количество участвующих в процессе людей. Пусть в комнате будет 12 человек. У группы из шести человек слева в кармане лежит по одной монете, в то время как у группы из шести человек справа нет ничего. Сделайте пример еще проще: пусть каждый человек может владеть лишь одной монетой в любой заданный момент времени. Монеты случайным образом перемещаются по комнате, когда люди обмениваются ими друг с другом или передают их соседям, которые не имеют монет.

Как монеты будут распределены в итоге?

Для ответа на этот вопрос посчитайте количество способов распределения монет, которые не отличаются друг от друга. В нашем примере все распределения с шестью монетами слева и нулем монет справа выглядят одинаково, потому что монеты идентичны. Что насчет распределений, в которых слева находится пять монет, а справа — одна? Они не идентичны, но похожи друг на друга. Подобным образом друг друга напоминают все распределения, в которых слева находится четыре монеты, а справа — две. И так далее.

Теперь спросите, сколько существует способов распределения шести монет между стоящими слева людьми? Их довольно много. Первый человек может держать любую из шести монет, второй — любую из пяти и так далее. Получается, что общее число способов распределения всех монет слева составляет 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, что равняется 720.