Когда ты была рыбкой, головастиком - я...

Ряд Фибоначчи — слыхали? —

1 да 1 — в начале,

потом — 2, 3, 5, 8,

отложите вопросы,

веселье мы вам обещали!

Артур Бенджамин

Прошло почти два десятка лет со времени моего последнего интервью с доктором Матриксом, которое я взял у него на математической конференции в Лиссабоне. (Это интервью завершает подборку моих колонок из журнала «Scientific American», составившую книгу «Использование покрытий Пенроуза для разгадки шифров»[52].) С тех пор я совершенно потерял след старого хрыча и его дочери Ивы, наполовину японки. Так что я с огромным удивлением и удовольствием повстречался с ним на конференции по теории чисел, проходившей в Стэнфордском университете. В программе значился его доклад «Некоторые малоизвестные факты о рядах Фибоначчи».

Ивы в Стэнфорде не было — теперь она уже не сопровождала отца в его вояжах, поскольку в 1991 году вышла замуж за одного японского фокусника. Ныне она живет в Токио вместе с мужем и двумя сыновьями-подростками — Ирвингом и Джошуа.

Сам доктор Матрикс заметно постарел. Волосы у него стали снежно-белыми, однако изумрудно-зеленые глаза сохранили всегдашнюю живость и пронзительность, а вышагивал он по-прежнему ровно и уверенно. Он передал мне текст своей лекции. Из нее, а также из наших дальнейших бесед я почерпнул необыкновенные сведения.

Пусть А, В, С, D — четыре любых последовательных члена обобщенного ряда Фибоначчи. Тогда произведение А и D даст одно число из пифагоровой тройки[53], а удвоенное произведение В и С — другое число из той же тройки! Рассмотрим, к примеру, четыре первых члена простейшего ряда Фибоначчи — 1, 1, 2, 3. Подстановка этих чисел в наши формулы даст знакомые длины сторон прямоугольного пифагорова треугольника — 3, 4, 5. С помощью такой процедуры можно, разумеется, создать бесконечное количество пифагоровых троек, хотя, к сожалению, не все такие триады.

Вот уравнение для четырех последовательных элементов ряда Фибоначчи:

(А × D)² + (2 × В × С)² = (В² + С²

)²

Это равенство легко доказать. Доктор Матрикс не дал ссылки на эту диковинку, однако я связался с редактором «Fibonacci Quarterly» и установил, что ее некогда опубликовал А. Хорадам в «American Mathematical Monthly»[54].

В ходе своего выступления доктор Матрикс продемонстрировал на экране старый парадокс с изменением площади (рис. 1). Перед нами квадрат площадью 64 «квадратные единицы». Если переложить четыре его части так, чтобы те составили прямоугольник, площадь неожиданно вырастет до 65 единиц! А если куски вновь переложить, как показано на рис. 2, общая площадь съежится до 63!

Отметьте, что длины в этом классическом парадоксе — 3, 5, 8 и 13, а это четыре члена ряда Фибоначчи. У этой последовательности есть известное свойство: если возвести в квадрат ее элемент, имеющий номер n, полученная величина будет равна произведению предшествующего и последующего члена ряда ±1 (т. е. членов с номерами n–1 и n+1).

_Рис. 1

_{Рис. 2. Площадь = 63 кв. ед.}

В данном случае сторона квадрата — 8, площадь — 64. В ряду Фибоначчи 8 находится между 5 и 13. Следовательно, 5 и 13 автоматически становятся сторонами прямоугольника, площадь которого должна составлять 65: отсюда выигрыш в одну квадратную единицу.

Благодаря этому свойству нашего ряда мы можем построить квадрат со стороной, длина которой представляет любое число из этого ряда (больше 1), а затем разрезать фигуру в соотношении, определяемом двумя предшествующими членами ряда. Так, выбрав квадрат со стороной 13, можно разделить три из его сторон на сегменты с длинами 5 и 8, а затем провести линии разреза, как показано на рис. 3. Площадь этого квадрата — 169. Из его фрагментов можно сложить прямоугольник с длинами сторон 21 и 8, а площадь этого прямоугольника будет равна 168. Из-за своего рода «перекрывания», происходящего вдоль диагонали прямоугольника, здесь мы теряем, а не приобретаем одну квадратную единицу.

Потеря одной квадратной единицы происходит, если взять квадрат со стороной 5. И это подводит нас к забавному правилу. Каждый второй элемент ряда Фибоначчи, если принять его за длину стороны квадрата, создает «дополнительную площадь» вдоль диагонали прямоугольника и зримую прибавку одной квадратной единицы. Все остальные элементы ряда (если их также брать через один) дают перекрывание частей прямоугольника и потерю одной квадратной единицы. Чем дальше по ряду мы продвигаемся, тем менее заметна площадь такого перекрывания. И соответственно, чем ниже номера членов ряда, тем перекрывание виднее. Можно даже построить своего рода парадокс с квадратом, имеющим сторону всего в две единицы, но в таком случае полученный из него прямоугольник 3 на 1 потребует столь явного перекрывания, что пропадет весь эффект от парадокса.

_Рис. 3