Курс теоретической астрофизики

Считая, что величина I равна полной интенсивности излучения при термодинамическом равновесии, т.е. I=T/, и выражая полный поток излучения через эффективную температуру T_e по формуле

H

=

T

4

e

,

вместо (5.25) находим

T

=

T

4

e

1

2

+

3

4

,

(5.26)

т.е. ранее полученную формулу (4.20).

Таким образом, определяя средний коэффициент поглощения формулой (5.21) и пользуясь приближением Эддингтона, мы приходим к такой же зависимости между температурой и оптической глубиной, как и в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Однако вычислить точно величину мы не можем, так как в формулу (5.21) входит поток излучения H в реальной фотосфере, в которой коэффициент поглощения зависит от частоты. Поэтому средний коэффициент поглощения приходится вычислять приближённо.

Для приближённого вычисления величины были предложены следующие способы.

1. Будем считать, что поток излучения H равен потоку излучения из абсолютно чёрного тела, т.е. H=B(T) где B(T) — планковская интенсивность при температуре T. Тогда

=

B(T)d

B(T)d

.

(5.27)

2. Возьмём выражение для H, даваемое формулой (5.19). Заменяя в ней I на планковскую интенсивность B(T), находим

H

=-

4

3

1

dB(T)

dT

dT

dr

.

(5.28)

Подстановка (5.28) в (5.21) даёт

=

dB(T)

dT

d

·

1

dB(T)

dT

d

^1

.

(5.29)

Формула (5.29) была предложена Росселандом [2].

3. Примем для H выражение, которое получается в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Обозначая поток излучения для этого случая через

H

0

,

получаем

=

H

0

H

(5.30)

Формулу (5.30) предложил Чандрасекар [4], табулировавший также величину

H

0

H

.

Мы не будем сравнивать между собой различные способы вычисления величины Отметим только, что вычисления по формулам (5.27) и (5.30) проще, чем по формуле (5.29). Это особенно заметно в случае сложного химического состава, так как в формулы (5.27) и (5.30) члены, соответствующие разным атомам, входят аддитивно. Однако формула (5.29), по-видимому, точнее.

Для примера найдём средний коэффициент поглощения по формуле (5.27) в случае, когда поглощение вызывается атомами водорода.

Пользуясь формулой (5.11) для и формулой (4.2) для B(T), получаем

0

B

(T)

d

=

n

_e

n

2^2ekT

33ch(2mkT)^3^/^2

2h

c^2

x

x

0

1+2

kT

i=i

1

i^3

exp

kT

exp

-

h

kT

d

.

(5.31)

Здесь для простоты мы положили g_i=1 и g=1. Меняя порядок интегрирования и суммирования и производя интегрирование, находим

0

B

(T)

d

=

n

_e

n

2^2ekT

33ch(2mkT)^3^/

^2

2h

c^2

x

x

kT

h

1

+

2,4

kT

.

(5.32)

Кроме того, имеем

0

B

(T)

d

=

2h

c^2

kT

h

0

x^3dx

e^x-1

=

2h

c^2

kT

h

15

.

(5.33)

Подстановка (5.32) и (5.33) в формулу (5.27) даёт

=

40

3

eh

me(2m)^3^/^2

1

+

2,4

kT

n_en

(kT)^/^2

.

(5.34)

Формулу (5.34) мы получили для атома водорода, но она справедлива без изменений и для водородоподобных ионов (так как атомный номер Z входит в ) Приближённо формула (5.34) справедлива и для других атомов.

Напомним, что первый член в квадратных скобках формулы (5.34) соответствует свободно-свободным переходам, а второй член — связанно-свободным переходам. В случае поглощения излучения водородными атомами первый член преобладает при температурах, больших 400 000 K, а второй член — при температурах, меньших 400 000 K (так как для водорода /k=157 200).

Считая, что водородные атомы полностью ионизованы (а значит, n_e=n~), в двух указанных случаях из формулы (5.34) получаем

^2

T^/^2

(5.35)

(при сравнительно высоких температурах) и

^2

T^/^2

(5.36)

(при сравнительно низких температурах). Формулы (5.35) и (5.36) довольно часто применяются в астрофизике.

§ 6. Теория фотосфер при коэффициенте поглощения, зависящем от частоты

1. Приближённая теория.

Самый простой путь для построения приближенной теории фотосфер при коэффициенте поглощения, зависящем от частоты, состоит в использовании результатов изложенной выше теории фотосфер при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты. С этой целью в теорию фотосфер вводится средний коэффициент поглощения . Как было показано в предыдущем параграфе, его можно определить так, что сохраняется такая же зависимость температуры T от оптической глубины , как и в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Поэтому сохраняются и полученные ранее выводы о строении звёздной фотосферы, т.е. об изменении в ней плотности и температуры с геометрической глубиной (в соответствующих формулах § 4 надо лишь заменить на ).

Однако для определения поля излучения в фотосфере для разных частот необходимо, чтобы в теории фигурировал коэффициент поглощения или соответствующая ему оптическая глубина . Для нас особенный интерес представляет интенсивность излучения, выходящего из звезды. Как было показано ранее, она определяется формулой (4.30), справедливой при любой зависимости от . Мы будем считать, что входящая в эту формулу температура T при помощи формулы (5.26) выражается через оптическую глубину , соответствующую среднему коэффициенту поглощения. Поэтому для вычисления по формуле (4.30) надо выразить и через . Мы приближённо примем, что / не меняется в фотосфере. Тогда получаем

=

r

dr

=

r

dr

=

.

(6.1)