Курс теоретической астрофизики

При помощи принципа инвариантности был также найден коэффициент яркости при произвольной индикатрисе рассеяния. В виде примера приведём результат, полученный при простейшей несферической индикатрисе рассеяния

𝑥(γ)

=

1+

𝑥₁cos γ

,

(19.17)

где 𝑥₁ — некоторый параметр.

В данном случае коэффициент яркости определяется формулой

ρ(μ,μ₀,φ)

=

ρ₀(μ,μ₀)

+

ρ₁(μ,μ₀)

cos φ

,

(19.18)

а величины ρ₀(μ,μ₀) и ρ₁(μ,μ₀) имеют следующую структуру:

ρ₀(μ,μ₀)

=

λ

4

φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ₀)-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ₀)

μ+μ₀

,

(19.19)

ρ₁(μ,μ₀)

=

λ

4

𝑥₁

φ₁¹(μ) φ₁¹(μ₀)

μ+μ₀

.

(19.20)

В свою очередь вспомогательные функции φ₀⁰(μ) и φ₁⁰(μ) определяются из системы уравнений

φ₀⁰(μ)

=

1

+

+

λ

2

μ

1

∫

0

φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ')-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ')

μ-μ'

𝑑μ'

,

(19.21)

φ₁⁰(μ)

=

μ

-

-

λ

2

μ

1

∫

0

φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ')-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ')

μ-μ'

𝑑μ'

,

(19.22)

а вспомогательная функция φ₁¹(μ) — из уравнения

φ₁¹(μ)

=

√

1-μ²

+

+

λ

4

𝑥₁μ

φ₁¹(μ)

1

∫

0

φ₁¹(μ')

μ+μ'

√

1-μ'²

𝑑μ'

.

(19.23)

Функции φ₀⁰(μ), φ₁⁰(μ) и φ₁¹(μ) табулированы, так что вычисление коэффициента яркости по формулам (19.18) — (19.20) не составляет труда.

При сильно вытянутой индикатрисе рассеяния формулы для коэффициента отражения ρ(μ,μ₀,φ) становятся довольно сложными. В этом случае для его определения используются численные методы.

3. Атмосфера конечной оптической толщины.

Рассмотрим теперь рассеяние света в атмосфере произвольной оптической толщины τ₀. Считая для простоты, что индикатриса рассеяния является сферической, получаем следующее уравнение для определения функции 𝑆(τ,μ₀):

𝑆(τ,μ₀)

=

λ

2

τ₀

∫

0

𝐸₁|τ-𝑡|

𝑆(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

+

λ

4

𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ₀

⎞

⎟

⎠

.

(19.24)

Здесь мы пока пренебрегли отражением света поверхностью планеты.

Наша задача состоит в определении интенсивностей излучения, диффузно отражённого и диффузно пропущенного атмосферой. Вместо них мы будем искать соответствующие им коэффициенты яркости (или коэффициенты отражения и пропускания) ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀), выражающиеся через функцию 𝑆(τ,μ₀) при помощи формул

𝐹ρ(μ,μ₀)

μ₀

=

τ₀

∫

0

𝑆(τ,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

μ

,

(19.25)

𝐹σ(μ,μ₀)

μ₀

=

τ₀

∫

0

𝑆(τ,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ₀-τ

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

μ

.

(19.26)

Однако для нахождения величин ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) нет необходимости в предварительном определении функции 𝑆(τ,μ₀) Как и в случае τ₀=∞, можно получить уравнения, непосредственно определяющие коэффициенты яркости. Для этого поступим следующим образом.

Перепишем уравнения (19.24) в виде

𝑆(τ,μ₀)

=

λ

2

τ

∫

0

𝐸₁(τ-𝑡)

𝑆(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

+

+

λ

2

τ₀

∫

0

𝐸₁(𝑡-τ)

𝑆(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

+

λ

4

𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ₀

⎞

⎟

⎠

.

(19.27)

Положив τ-𝑡=𝑥 в первом интеграле и 𝑡-τ=𝑥 во втором, получаем

𝑆(τ,μ₀)

=

λ

2

τ

∫

0

𝐸₁𝑥

𝑆(τ-𝑥,μ₀)

𝑑𝑥

+

λ

2

τ₀-τ

∫

0

𝐸₁𝑥

𝑆(τ+𝑥,μ₀)

𝑑𝑥

+

λ

4

𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ₀

⎞

⎟

⎠

.

(19.28)

Дифференцируя это уравнение по τ, находим

𝑆'(τ,μ₀)

=

λ

2

τ₀

∫

0

𝐸₁|τ-𝑡|

𝑆'(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

-

λ𝐹

4μ₀

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ₀

⎞

⎟

⎠

+

+

λ

2

𝑆(0,μ₀)

𝐸₁τ

-

λ

2

𝑆(τ₀,μ₀)

𝐸₁(τ₀-τ)

.

(19.29)

Сравнивая между собой уравнения (19.24) и (19.29), мы видим, что они имеют одинаковые ядра и отличаются друг от друга лишь свободными членами. Но так как функция 𝐸₁τ определяется формулой

𝐸₁τ

=

1

∫

0

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑μ

μ

,

(19.30)

то свободный член уравнения (19.29) представляет собой суперпозицию свободных членов уравнения (19.24). Поэтому вследствие линейности рассматриваемых уравнений имеем

𝑆'(τ,μ₀)

=-

1

μ₀

𝑆(τ,μ₀)

+

2

𝐹

𝑆(0,μ₀)

1

∫

0

𝑆(τ,μ')

𝑑μ'

μ'

-

-

2

𝐹

𝑆(τ₀,μ₀)

1

∫

0

𝑆(τ₀-τ,μ')

𝑑μ'

μ'

.

(19.31)

Соотношение (19.31) и даёт нам возможность получить уравнения, определяющие величины ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀). Умножая это соотношение на

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑μ

μ

,

интегрируя по τ в пределах от нуля до τ₀ и учитывая формулы (19.25) и (19.26), находим

𝐹

ρ(μ,μ₀)

(μ+μ₀)

=

𝑆(0,μ₀)

φ(μ)

-

𝑆(τ₀,μ₀)

ψ(μ)

,

(19.32)

где обозначено

φ(μ)

=

1+

2μ

1

∫

0

ρ(μ,μ')

𝑑μ'

,

(19.33)

ψ(μ)

=

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ₀

μ

⎞

⎟

⎠

+

2μ

1

∫

0

σ(μ,μ')

𝑑μ'

.

(19.34)

После умножения соотношения (19.31) на

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ₀-τ

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑μ

μ

,

и интегрирования аналогично получаем

𝐹

σ(μ,μ₀)

(μ-μ₀)

=

𝑆(0,μ₀)

ψ(μ)

-

𝑆(τ₀,μ₀)

φ(μ)

.

(19.35)

С другой стороны, из уравнения (19.24) вытекает

𝑆(0,μ₀)

=

λ

2

τ₀

∫

0

𝑆(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

1

∫

0

exp

⎛

⎜

⎝

-

𝑡

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑μ

μ

+

λ

4

𝐹

=

=

λ

2

1

∫

0

𝑑μ

τ₀

∫

0

𝑆(𝑡,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

-

𝑡

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑡

μ

+

λ

4

𝐹

=

=

λ

4

𝐹

⎡

⎢

⎣

1+

2μ₀

1

∫

0

ρ(μ,μ₀)

𝑑μ

⎤

⎥

⎦

.

(19.36)

Из того же уравнения аналогично находим

𝑆(τ₀,μ₀)

=

λ

4

𝐹

⎡

⎢

⎣

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ₀

μ₀

⎞

⎟

⎠

+

2μ₀

1

∫

0

σ(μ,μ₀)

𝑑μ

⎤

⎥

⎦

.

(19.37)

Пользуясь симметричностью величин ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀). относительно μ и μ₀ (которая будет доказана ниже) и обозначениями (19.33) и (19.34), получаем

𝑆(0,μ₀)

=

λ

4

𝐹

φ(μ₀)

,

𝑆(τ₀,μ₀)

=

λ

4

𝐹

ψ(μ₀)

.

(19.38)

Подстановка выражений (19.38) в формулы (19.32) и (19.35) даёт

ρ(μ,μ₀)

=

λ

4

φ(μ)φ(μ₀)-ψ(μ)ψ(μ₀)

μ+μ₀

,

(19.39)

σ(μ,μ₀)

=

λ

4

ψ(μ)φ(μ₀)+φ(μ)ψ(μ₀)

μ-μ₀

.

(19.40)

Подставляя же выражения (19.39) и (19.40) в формулы (19.33) и (19.34), находим

φ(μ)

=

1+

λ

2

μ

1

∫

0

φ(μ)φ(μ')-ψ(μ)ψ(μ')

μ+μ'

𝑑μ'

,

(19.41)

ψ(μ)

=

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ₀

μ

⎞

⎟

⎠

+

+

λ

2

μ

1

∫

0

ψ(μ)φ(μ')-φ(μ)ψ(μ')

μ-μ'

𝑑μ'

.

(19.42)

Соотношения (19.39)—(19.42) являются искомыми. Формулы (19.39) и (19.40) определяют структуру коэффициентов яркости, а уравнения (19.41) и (19.42) служат для определения вспомогательных функций φ(μ) и ψ(μ).

При индикатрисе рассеяния произвольного вида коэффициенты яркости также выражаются через вспомогательные функции, зависящие только от одного аргумента, и эти функции определяются системами уравнений, похожими на уравнения (19.41) и (19.42) (см., например, [2]).

Нам ещё остаётся доказать симметричность коэффициентов яркости относительно углов падения и отражения (или пропускания). Для этого рассмотрим интегральное уравнение

𝑆(τ,μ₀)

=

τ₀

∫

0

𝐾(|τ-𝑡|)

𝑆(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡