Курс теоретической астрофизики

+

𝑔(τ,μ₀)

(19.43)

с произвольным ядром, зависящим от модуля разности двух аргументов, и с произвольным свободным членом, зависящим от параметра μ₀ Уравнение (19.24) является частным случаем уравнения (19.43).

Считая, что 𝑔(τ,μ) представляет собой свободный член уравнения (19.43), в котором μ₀ заменено на μ получаем

τ₀

∫

0

𝑆(τ,μ₀)

𝑔(τ,μ)

𝑑τ

=

=

τ₀

∫

0

𝑆(τ,μ₀)

⎡

⎢

⎣

𝑆(τ,μ)

-

τ₀

∫

0

𝐾(|τ-𝑡|)

𝑆(𝑡,μ)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

𝑑τ

=

=

τ₀

∫

0

𝑆(τ,μ₀)

𝑆(τ,μ)

𝑑τ

-

-

τ₀

∫

0

𝑆(τ,μ)

𝑑𝑡

τ₀

∫

0

𝑆(τ,μ₀)

𝐾(|τ-𝑡|)

𝑑τ

.

(19.44)

Отсюда, обращаясь снова к уравнению (19.43), находим

τ₀

∫

0

𝑆(τ,μ₀)

𝑔(τ,μ)

𝑑τ

=

τ₀

∫

0

𝑆(τ,μ)

𝑔(τ,μ₀)

𝑑τ

.

(19.45)

Аналогично можно получить:

τ₀

∫

0

𝑆(τ,μ₀)

𝑔(τ₀-τ,μ)

𝑑τ

=

τ₀

∫

0

𝑆(τ,μ)

𝑔(τ₀-τ,μ₀)

𝑑τ

.

(19.46)

Полагая

𝑔(τ,μ₀)

=

exp

⎛

⎜

⎝

τ

μ₀

⎞

⎟

⎠

и принимая во внимание формулы (19.25) и (19.26), из (19.45) и (19.46) имеем

ρ(μ,μ₀)

=

ρ(μ₀,μ)

,

σ(μ,μ₀)

=

σ(μ₀,μ)

.

(19.47)

Эти соотношения, которыми раньше мы уже пользовались, нам и требовалось доказать.

Соотношения (19.47) играют весьма важную роль в теории рассеяния света. С физической точки зрения они выражают «принцип обратимости» для оптических явлений. К планетным атмосферам впервые этот принцип применил Миннарт (см. [5]).

4. Отражение света поверхностью планеты.

Выше мы предполагали, что коэффициент отражения света поверхностью планеты равен нулю. Теперь примем во внимание эффект отражения, причём для простоты будем считать, что интенсивность отражённого света не зависит от направления (т.е. отражение является изотропным). Альбедо поверхности планеты обозначим через 𝐴. Индикатрису рассеяния света в планетной атмосфере, как и раньше, будем считать сферической.

В данном случае атмосфера освещена не только прямыми солнечными лучами сверху, но и диффузным излучением, идущим от поверхности планеты снизу. Отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения теперь мы обозначим через 𝑆(τ,μ₀) и вместо уравнения (19.24) получаем

𝑆

(τ,μ₀)

=

λ

2

τ₀

∫

0

𝐸₁|τ-𝑡|

𝑆

(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

+

λ

4

𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ₀

⎞

⎟

⎠

+

+

λ

2

𝐼

(μ₀)

1

∫

0

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ₀-τ

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑μ

.

(19.48)

где 𝐼(μ₀) — интенсивность излучения, отражённого поверхностью.

Нам надо найти коэффициенты яркости ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) определяемые формулами

𝐹

ρ

(μ,μ₀)

μ₀

=

τ₀

∫

0

𝑆

(τ,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

μ

+

+

𝐼

(μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ₀

μ₀

⎞

⎟

⎠

,

(19.49)

𝐹

σ

(μ,μ₀)

μ₀

=

τ₀

∫

0

𝑆

(τ,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ₀-τ

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

μ

.

(19.50)

Последний член формулы (19.49) учитывает излучение, отражённое поверхностью и прошедшее через атмосферу.

Входящая в уравнение величина 𝐼(μ₀) заранее также не является известной. Очевидно, что она зависит от искомой интенсивности излучения, падающего на поверхность, или от соответствующего коэффициента яркости σ(μ,μ₀). Чтобы найти указанную зависимость, надо прежде всего написать выражение для освещённости поверхности. Легко видеть, что освещённость прямыми солнечными лучами равна

π𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ₀

μ₀

⎞

⎟

⎠

μ₀

,

а освещённость диффузным излучением атмосферы равна

2π𝐹

μ₀

1

∫

0

σ

(μ,μ₀)

μ

𝑑μ

.

Умножая суммарную освещённость на альбедо поверхности 𝐴, мы получаем количество энергии, отражённое поверхностью. С другой стороны, это количество энергии равно π𝐼(μ₀). Поэтому имеем

𝐼

(μ₀)

=

𝐴𝐹

μ₀

⎡

⎢

⎣

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ₀

μ₀

⎞

⎟

⎠

+2

1

∫

0

σ

(μ,μ₀)

μ

𝑑μ

⎤

⎥

⎦

.

(19.51)

Для нахождения величин ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) сравним между собой уравнения (19.24) и (19.48). Из этого сравнения видно, что

𝑆

(τ,μ₀)

=

𝑆(τ,μ₀)

+

2

𝐹

𝐼

(μ₀)

1

∫

0

𝑆(τ₀-τ,μ')

𝑑μ'

.

(19.52)

Умножая (19.52) на

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

μ

,

интегрируя в пределах от нуля до τ₀ и пользуясь формулами (19.25), (19.26) и (19.49), получаем

ρ

(μ,μ₀)

=

ρ(μ,μ₀)

+

+

𝐼(μ₀)

𝐹(μ₀)

⎡

⎢

⎣

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ₀

μ

⎞

⎟

⎠

+2

1

∫

0

σ(μ,μ')

μ'

𝑑μ'

⎤

⎥

⎦

.

(19.53)

Аналогично находим

σ

(μ,μ₀)

=

σ(μ,μ₀)

+

𝐼(μ₀)

𝐹(μ₀)

2

1

∫

0

ρ(μ,μ')

μ'

𝑑μ'

.

(19.54)

Для определения величины 𝐼(μ₀) умножим (19.54) на 2μ 𝑑μ и проинтегрируем в пределах от нуля до 1. При помощи (19.51) это даёт

𝐼

(μ₀)

=

𝐴

1-𝐴𝐶

⎡

⎢

⎣

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ₀

μ₀

⎞

⎟

⎠

+2

1

∫

0

σ(μ,μ₀)

μ

𝑑μ

⎤

⎥

⎦

𝐹

μ₀

,

(19.55)

где обозначено

𝐶

=

4

1

∫

0

μ

𝑑μ

1

∫

0

ρ(μ,μ')

μ'

𝑑μ'

.

(19.56)

Вводя также обозначения

𝑀(μ)

=

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ₀

μ

⎞

⎟

⎠

+

2

1

∫

0

σ(μ,μ')

μ'

𝑑μ'

,

(19.57)

𝑁(μ)

=

2

1

∫

0

ρ(μ,μ')

μ'

𝑑μ'

(19.58)

и подставляя (19.55) в (19.53) и (19.54), получаем

ρ

(μ,μ₀)

=

ρ(μ,μ₀)

+

𝐴

1-𝐴𝐶

𝑀(μ)

𝑀(μ₀)

,

(19.59)

σ

(μ,μ₀)

=

σ(μ,μ₀)

+

𝐴

1-𝐴𝐶

𝑁(μ)

𝑀(μ₀)

(19.60)

Таким образом, мы пришли к формулам, посредством которых коэффициенты яркости ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) при 𝐴≠0 выражаются через коэффициенты яркости ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) при 𝐴=0.

Входящие в формулы (19.59) и (19.60) величины 𝑀(μ) и 𝑁(μ) можно выразить через те же вспомогательные функции φ(μ) и ψ(μ), через которые раньше были выражены величины ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀). При помощи формул (19.39) и (19.40), а также уравнений (19.41) и (19.42), находим

𝑀(μ)

=

⎛

⎜

⎝

1-

λ

2

α₀

⎞

⎟

⎠

ψ(μ)

+

λ

2

β₀

φ(μ)

,

(19.61)

𝑁(μ)

=

1-

⎛

⎜

⎝

1-

λ

2

α₀

⎞

⎟

⎠

φ(μ)

-

λ

2

β₀

ψ(μ)

,

(19.62)

где использованы обозначения

α

_𝑖

1

∫

0

φ(μ)

μ

^𝑖

𝑑μ

,

⎫

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎭

β

_𝑖

1

∫

0

ψ(μ)

μ

^𝑖

𝑑μ

,

(19.63)

т.е. α₀ и β₀ — нулевые моменты функций φ(μ) и ψ(μ).

Легко видеть, что величины 𝑁(μ₀) и 𝑁(μ₀) имеют простой физический смысл. Первая из них представляет собой отношение освещённости поверхности планеты к освещённости верхней границы атмосферы, а вторая — отношение освещённости верхней границы снизу к освещённости верхней границы сверху (при 𝐴=0).

5. Альбедо планеты.