Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

В квантовой электродинамике существует естественная перенормировочная схема; в ней электроны и фотоны выбираются на массовой поверхности (т.е. электронный пропагатор S задается в точке р²=m², а фотонный D - при q²=0). Поскольку в КХД, по-видимому, происходит удержание кварков и глюонов, в ней не существует столь же естественного способа выбора схемы перенормировки. Следовательно, имеется определенный произвол в выборе перенормировочной схемы который может быть использован для того, чтобы максимально упростить вычисления. Этим требованиям удовлетворяет схема минимального вычитания, к обсуждению которой мы переходим.

2. Схема минимального вычитания

Как заметил т’Хофт [249], простейший способ исключения расходимостей из функций Грина состоит в отбрасывании полюсов по параметру 1/, появляющихся в размерной регуляризации (минимальное вычитание MS). Впоследствии было показано [29], что эти полюса всегда появляются в комбинации

N

=

2

 -

_E

+ log4.

(9.15)

Следовательно, если отбросить только член 2/, то остаются трансцендентные величины _E, log 4. Напомним, что зти величины возникают в результате обобщения проводимых вычислений на случай пространства произвольной размерности D=4-, что находит свое отражение в членах вида

(4)^/2(/2)=N+O

Кажется вполне естественным отбросить и эти трансцендентные слагаемые. Это требование приводит к модифицированной схеме минимального вычитания (в дальнейшем обозначаемой MS, в которой множитель N исключается полностью¹⁵⁾. В рамках этой схемы находим следующие выражения для перенормировочных множителей:

¹⁵⁾ Схема MS может быть сведена к схеме MS заменой выражения d^Dk=^4-D₀ x d^Dk/(2)^D на выражение d^Dk={^4-d₀/(2)_D} / {(4)^(4-D)/2(3-D/2)}.

Z

 

=1 - C

 

_g

(1-)N

,

^F

^F

4

(9.16)

Z

 

=1 - C

3

_g

 N

.

^m

4

(9.17)

Мы будем пользоваться в основном схемой MS, поэтому черту над перенормировочными множителями Z, относящимися к этой схеме, в дальнейшем будем опускать. (В схеме MS множитель Z_m не зависит от калибровки. В двухпетлевом приближении это проверено в работе [242], но результат, по-видимому, справедлив во всех порядках теории возмущений вследствие калибровочной независимости массового члена mqq .) Из выражений (9.16) и (9.17) видно, что, определив коэффициент с выражением C=cN можно написать

c

₍₁₎

= - C

_F

(1-) ,

^F

(9.18)

c

₍₁₎

= - 3C

_F

^m

(9.19)

Эти вычисления были проведены во втором порядке теории возмущений ¹⁶⁾.

¹⁶⁾ Вычисления были проведены Нанолулосом и Россом [208]; Таррач [242] проверил их и исправил тривиальную ошибку, допущенную в оригинальной работе [208].

Вычислим теперь в схеме MS другие перенормировочные константы. Начнем с глюонного пропагатора. Поперечная часть глюонного пропагатора записывается в виде

D

(q,g

_u

,m

_u

,

_u

)

^utr;ab

=

i

-g

+q

q

/q

²

_ab

q

²

+

-g

^'

+q

^u

q

^'

/q

²

 

_a'b'

 

q

²

^aa'

^''

^b'b

x

i

-g

^'

+q

^'

q

/q

²

+ … .

2

(9.20)

В этом выражении во втором порядке теории возмущений не требуется проведения перенормировки константы связи, калибровочного параметра или массы.

Рис. 6. Глюонный пропагатор.

Часть поляризационного оператора , обусловленная вкладами духов и глюонов (рис. 6, а), вычислена выше (выражение (5.9)^16a). Часть оператора , возникающая от вклада кварковой петли (рис. 6, б), для кварка каждого аромата f записывается в виде

^16a) Выражение (5.9) получено без учета множителя ^4-D₀. Если учесть его, то единственное изменение заключается в замене log(-q²) на log(-q²/²₀).

=

ig

²

t

_a

t

_b

d

^D

k

_4-D 

Tr(

k

+m

_f

)

(

k

+

q

+m

_f

)

.

^fquark;ab

^ij

^ij

(2)

^D

⁰

(k

²

-m

²

_f

)[(k+q)-m

²

_f

]

 

 

 

 

^ij

Вычисление этого выражения проводится стандартными методами. За исключением множителя Tr t^at^b, результат совпадает с хорошо известным из КЭД выражением для фотонного поляризационного оператора. Если через n_f обозначить полное число ароматов кварков, то результат имеет вид

^{all quarks;ab}

=

_ab

-2T

_F

g

²

(-g

q

²

+q

q

)

16

²

x

 

_nf

{

2

N

n

_f

-4

¹

dx·x(1-x)

log

m

²

_f

-x(1-x)q

²

}

.

3

₀

²

₀

 

^f=1

(9.21)

Во втором порядке теории возмущении можно просуммировать все диаграммы рис. 6, в, где кружками обозначены петли кварков, плюонов или духов. Выделяя из поляризационного оператора тензорную структуру вида

_''

= -

_a'b'

(-g

^''

q

²

+q

^'

q

^'

),

^a'b'

(9.22 а)

получаем аналог выражения (7.5)

D

q = i

-g

+q

q

/q

²

^{u tr;ab}

(1-)q

²

(9.22 б)

Введем запись

 

_div

f

=

g,

которая означает, что коэффициенты при члене N в выражениях для величин f и g равны. Тогда перенормированный глюонный пропагатор D запишется в виде

D

=Z

_-1

D

 .

^{R tr;ab}

_B

^{u tr;ab}

Из уравнений (5.9), (9.20). и (9.21) следует равенство

1-

_div

=

 

1+

g

²

{

10C

_A

 -

8T

_F

n

_f

}

N

.

32

²

3

3

Следовательно, в рамках схемы MS в калибровке Ферми - Фейнмана для перенормировочного множителя получаем выражение

Z

_B

=1+

 

_g

{

10C

_A

 -

8T

_F

n

_f

}

N

.

8

3

3

(9.23)

В произвольной калибровке перенормировочный множитель Z_B был вычислен в работах [160, 218]. Соответствующий коэффициент C⁽¹⁾_B равен

C

₍₁₎

 =

1

{

10+3-

4n

_f

}

.

^B

2

3

(9.24)