Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Опуская вычисления, приведем лишь конечный результат для перенормировочного множителя Z¹⁷⁾

¹⁷⁾ См., например, работу [222] и цитируемую там литературу. Тождества Славнова-Тейлора, доказанные в § 6, обеспечивают выполнение равенства Z_B=Z во всех порядках теории возмущений

C

₍₁₎

=C

₍₁₎

^B

(9.25)

Следует отметить, что в калибровке Ландау параметр в однопетлевом приближении не перенормируется. В действительности, как показано в § 6, тождества Славнова — Тейлора обеспечивают справедливость этого утверждения во всех порядках теории возмущений.

Рис. 7. Вершина кварк-глюонного взаимодействия.

В заключение этого параграфа вычислим перенормировочный множитель Z_g. Для этого используем вершину ggB. Выбирая обозначения 4-импульсов в соответствии с рис. 7, можно записать выражение для этой вершины во втором порядке теории возмущений в виде (ср. с (9.7))

V

=ig

t

_a

+i

₍₂₎

 ,

^uij,a

 

^ij

^uij,a

(9.26 а)

где

₍₂₎

(p,p')={

_(b)

+

_(c)

}

 .

^uij,a

 

 

^uij,a

(9.26 б)

Величины ^(b) и ^(c) обозначают вклады от диаграмм рис. 7, б и в соответственно. Диаграмма рис. 7, а приводит к первому члену igt в формуле (9.26 а). Из рассмотренных выше примеров очевидно, что массы кварков не играют pоли в выражениях для перенормировочных множителей Z (за исключением, конечно, множителя Z_m), поэтому можно упростить вычисления, положив m=0. При этом следует учитывать только расходящиеся части вершин . Тогда в калибровке Ферми — Фейнмана для рассматриваемой вершины имеем

i

_(b)

^uij,a

_div

=

 

ig

d

^D

k

x

[(2k-q)g-(k+q)g+2(q-k)g](p+k)

[(p+k)²+i0][(k-q)²+i0](k²+i0)

C

_a

^ij

_div

=

 

igC

_a

 

lim

^->0

d

^D

k

2(2-D)/D-2

^ij

 

(k

²

-i)

²

_div

=

 

g

3N

C

^a

_ij

²

16

²

(9.27 а)

Здесь использованы обозначения

d

^D

k

d

^D

k

 

_4-D

,

(2)

^D

⁰

C

_a

^ij

-g

²

t

_b

t

_c

f

_abc

=

1

g

²

[t

^b

,t

^c

]

_ij

f

^bca

^jl

^li

 

2

=

g

²

i

 

C

_A

t

_a

 =

3

 it

_a

g

²

.

2

^ij

2

^ij

При выводе последнего выражения использовано свойство антисимметрии константы f по отношению к перестановке индексов, благодаря которому можно заменить t^bt^c на коммутатор 1/2 [t^b, t^с]. Аналогично получаем выражение для вклада, возникающего от диаграммы рис. 7, в:

i

_(c)

^uij,a

_div

=

 

-i

²

g

d

^D

k

(

p

+

k

)

(

p

+

k

)

g

C

_'a

[(p+k)

²

+i0][(p'+k)

²

+i0](k

²

+i0)

^ij

_div

=

 

ig

N

C

_'a

.

16

²

^ij

(9.27 б)

Здесь

C

_'a

^ij

=

g

²

 

^c

(t

^c

t

^a

t

^c

)

_ij

= g

²

 

^c

([t

^c

,t

^a

]t

^c

)

_ij

+ g

²

(

t

^a

 

^c

t

^c

t

^c

)

_ij

=

g

²

t

_a

{

-

1

C

_A

+C

_F

}

.

^ij

2

(9.27 в)

При выводе этого выражения использованы формулы приложения В. Таким образом, окончательное выражение для вершины имеет вид

₍₂₎

^uij,a

_div

=

 

N

g

³

{

C

_A

+C

_F

}

it

_a

.

16

²

^ij

(9.28)

В перенормировке вершины участвуют множители Z_g, Z_F и Z_B:

V

=Z

_-1

Z

_{- 1/2}

Z

 

V

.

^Rij,a

^F

^B

^g

^uij,a

(9.29)

Используя полученные выше выражения для перенормировочных множителей Z_F и Z_B и только что вычисленное значение расходящейся части вершины ⁽²⁾_u, получаем следующий результат для зарядового перенормировочного множителя:

Z

_g

=1-

_g

{

11C

_A

 -

2

T

_F

n

_f

}

N

.

4

6

3

(9.30)

Таким образом,

c

₍₁₎

= -

{

11

 -

n

_f

}

.

^g

2

3

Интересно проследить за сокращением членов, пропорциональных множителю C_F. Такое сокращение обязательно должно иметь место в силу того, что зарядовый перенормировочный множитель Z_g можно вычислить в рамках чистой глюодинамики, не содержащей фермионов (см. ниже). Очевидно, что такое сокращение происходит благодаря калибровочной структуре теории, см. выражение (9.27в). В следующем порядке теории возмущений функция вычислена в работах [64, 179]. Вычисления коэффициента c⁽¹⁾_g были проведены Гроссом и Вильчеком [160] и Полицером [218], которые вместо кварк-глюонной вершины qqB использовали трехглюонную вершину. Такое вычисление связано с рассмотрением диаграмм рис. 8. Для этих же целей можно использовать вершину взаимодействия глюонов и духов B. Конечно, все способы рассмотрения приводят к одному и тому же результату, что является следствием калибровочной инвариантности теории.

Рис. 8. Трехглюонная вершина.

Следует отметить, что во всех порядках теории возмущений коэффициенты c⁽ⁿ⁾_g, вычисленные в схеме MS , калибровочно-инвариантны [65].

§10. Глобальные симметрии лагранжиана КХД; сохраняющиеся токи

В этом параграфе мы рассмотрим глобальные симметрии лагранжиана КХД. Поскольку процедура перенормировок не меняет структуры лагранжиана, можно пренебречь различием между затравочным и перенормированным лагранжианами.

Очевидно, что лагранжиан инвариантен по отношению к преобразованиям из группы Пуанкаре x->x+a. Токи, соответствующие лоренцевым преобразованиям (являющимся генераторами полного спина системы), для нас не представляют большого интереса. Согласно теореме Нётер, инвариантность лагранжиана относительно пространственно-временных сдвигов приводит к следующему выражению для тензора энергии-импульса:

=

 

ⁱ

L

(

_i

)

_i

-g

L ,

(10.1)

где суммирование по i проводится по всем полям, фигурирующим в лагранжиане КХД. Из тензора энергии-импульса можно построить токи, удовлетворяющие условию сохранения

= 0,