Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

]

3666n

_f

.

(23.5 б)

Нормировка функции f_V априори произвольна; выберем ее таким образом, чтобы собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению матрицы , был в точности равен сумме. Сохраняющимся оператором является тензор энергии-импульса (см. (10.2))

=i

 

^f

q

_f

D

q

_f

+

g

G

G

-g

L.

Член gL приводит к вкладам величины O(M^2/Q^2), которыми в данном случае можно пренебречь. Таким образом, находим

¹

 

₀

dx {f

_F

²

(x,Q^2)+f

_V

²

(x,Q^2)}=

1+c

₂

_s(Q^2)

+O(

₂

^s

)

,

(23.6)

где параметры и c₂ зависят от типа рассматриваемого процесса. В процессах электророждения

^ep

=Q

₂

^f

, c

₂

=-5/9,

где Q²_f — средний заряд возбуждаемых кварков различных ароматов. Для процессов I и p-рассеяния параметр принимает значения

^I

=1,

^p

=2/3.

В действительности в пределе Q^2-> можно вычислить интегралы отдельно для каждой из функций fⁱ₂ , i=1, 2. Это обусловлено тем, что при n=2

d

₊

(2)=0, d

_-

(2)=

2

3

·

16+3n_f

33-2n_f

0 .

Следовательно, в ведущем порядке по константе связи _s можно написать (матрица S определена в (21.12))

(2,Q^2)

 

=

^{Q^2->}

S

(2)

b(2),

b(2)=b

1

0

с некоторым коэффициентом, не зависящим от квадрата 4-импульса Q^2 . Таким образом,

¹

 

₀

dx f

_F

²

(x,Q^2)

 

=

^{Q^2->}

3n_f

16+3n_f

,

¹

 

₀

dx f

_V

²

(x,Q^2)

 

=

^{Q^2->}

16n_f

16+3n_f

.

(23.7)

К сожалению, поправки к (23.7) имеют вид

K[

_s

(Q^2)]

^-d_-(2)

где коэффициент K пока вычислить не удается. (Но поправки порядка O(_s) к выражениям (23.7) известны; см., например, [194].) Выражения (23.7) принадлежат к числу тех, которые явно демонстрируют существование глюонов. Если бы глюонов не существовало, то весь импульс адрона распределялся бы между кварками и был бы справедлив результат

¹

 

₀

dx f

_F

^2

(x,Q^2) ,

который, скажем, для кварков четырех ароматов n_f=4 вдвое превышает экспериментальное значение. Например, для процесса I-рассеяния [87] получено значение

¹

 

₀

dx f

_exp

^2

(x,Q^2)0.43±0.03, (Q^2 от 30 до 100 ГэВ^2),

а теоретически вычисленное (с учетом глюонного вклада) значение равно^38а)

^38а) Заметим, что нейтрино или электроны (мюоны) e , используемые в качестве пробных частиц, взаимодействуют только с кварками и позволяют экспериментально определить только структурную функцию f^F. Для непосредственного измерения структурной функции f^V необходимы пробные частицы, взаимодействующие с глюонами.

¹

 

₀

dx f

_th

^2

(x,Q^2)

12

28

=0.43.

Анализ этих соотношений в ведущем порядке теории возмущений был выполнен в работе [162], хотя импульсные правила сумм (только на кварковом уровне) обсуждались уже в обзоре [193].

2. Поведение структурных функций в крайних точках

Начнем с рассмотрения поведения несинглетных структурных функций в пределе x->1. Предположим, что функции f^NS обладают асимптотическим поведением вида

f

^NS

(x,Q^2)

 

^x->1

A(Q^2)(1-x)

^(_s)

,

(23.8)

к которому могут существовать логарифмические поправки (см. ниже). В действительности соотношение (23.8) можно доказать в рамках квантовой хромодинамики, но мы не будем делать этого здесь ^38б). Исходя из общих соображений, следует ожидать, что поведение структурных функций в пределе x->1 связано с поведением моментов от структурных функций при больших значениях n. Легко убедиться, что

^38б) См. работу [54] и цитируемую там литуратуру.

d(n)

 

^x->

-16

33-2n_f

log n-

3

4

+

_E

+O

1

n

.

(23.9)

Используя асимптотику (23.8), для моментов получаем выражение

_NS

(n,Q^2)

 

^n->

A(Q^2)

(n-1)[1+(_s)]

[n+(_s)]

,

а из соотношений (23.9) и (20.6) для отношения моментов находим

_NS

(n,Q

₂

 

)

_NS(n,Q

₂

⁰ )

 

^n->

exp

log

_s

(Q

₂

 

)

_s(Q

₂

⁰ )

16

33-2n_f

log n-

3

4

+

_E

.

Приравнивая результаты, находим точный вид коэффициентов A и и выражения для асимптотики структурной функции в пределе x->1:

f

^NS

(x,Q^2)

 

^x->1

A

_0NS

[

_s

(Q^2)]

^-d₀

(1-x)^_NS(_s)

[1+_NS(_s)]

(23.10 а)

_NS

(

_s

)

=

_NS0

-

16

33-2n_f

log

_s

(Q^2) ,

d

₀

=

16

33-2n_f

3

4

-

_E

.

(23.10 б)

Константы ₀ и A_0NS теоретически рассчитать не удается, но ожидаемое значение параметра _0NS лежит в пределах от 2 до 3 [122].

Для синглетного случая вычисления усложняются из-за матричного характера уравнений. Было найдено, что асимптотическое поведение структурных функций для глюонов отличается от (23.8), но асимптотики структурных функций для кварков сходны с асимптотиками несинглетных структурных функций (см. работы [194, 199], в которых содержатся также вычисления во втором порядке теории возмущений). Эти асимптотики имеют вид

f

^F

(x,Q^2)

 

^x->1

A

_0S

[

_s

(Q^2)]

^-d₀

(1-x)^_S(_s)

[1+_s(_s)]

,

(23.11)

f

^V

(x,Q^2)

 

^x->1

2

5

A

_0S

[

_s

(Q^2)]

^-d₀

(1-x)^_S(_s)+1

(2+_S(_s))|log(1-x)|

.

(23.12)

Здесь d₀ определяется формулой (23.10 б), а параметр _S выражается такой же формулой, как _NS :

_S

(

_s

)=

_0S

-

16

33-2n_f

log

_s

(Q^2) .

Коэффициенты A_0S и _0S в рамках теории возмущений КХД получить нельзя. Можно утверждать следующее: во-первых, глюонные структурные функции в пределе x->1 стремятся к нулю быстрее, чем синглетные структурные функции кварков, и, во-вторых, все структурные функции быстро убывают в пределе x->1 при Q^2->. Эти выводы подтверждаются всеми экспериментальными данными.