Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Таким образом, условие =0 выполняется только в том случае, когда G0 и, следовательно, с вакуумом можно отождествить только состояние, в котором отсутствуют глюонные поля. Но выражение (43.2) не обладает определенным знаком, если допустить, что тензор глюонного поля G может принимать комплексные значения. Особенно важен случай, когда комплексный тензор G определенный в пространстве Минковского, соответствует вещественному тензору глюонных полей G, определенному в евклидовом пространстве-времени. Как обсуждалось в конце § 40, такая ситуация свидетельствует о возможном туннельном переходе. Это является основанием для того, чтобы искать решения уравнений КХД в евклидовом пространстве^53б).

^53б) Такая процедура обычно называется евклидовой формулировкой КХД или евклидовой формулировкой теории поля. Величины, определяемые в евклидовом пространстве-времени, мы будем отличать от соответствующих величин, определенных в пространстве Минковского, подчеркивая их снизу. Кроме того, суммы по повторяющимся пространственно-временным индексам мы будем выписывать в явном виде.

Другая причина заключается в том, что в пространстве Минковского

_~

^~

G

^a

=-G

^a

,

поэтому дуальными

G

=±G.

(43.3)

могут быть только тривиальные полевые конфигурации G=0. (Если в правой части равенства (43.3) стоит знак +, то говорят, что тензор G самодуален, если знак -, то тензор G антидуален.) В евклидовом же пространстве справедливо равенство

_~

^~

G

=±G

.

так что могут существовать и в действительности существуют нетривиальные дуальные полевые конфигурации G. Кроме того, дуальные евклидовы поля G автоматически удовлетворяют уравнениям движения. Это происходит по следующим причинам: уравнения движения для глюонных полей имеют вид (вспомним уравнение (3.6))

D

G

^a

G

^a

g

f

_abc

B

_b

G

^c

=0;

(43.4)

условие

D

G

^a

=0

(43.5)

представляет собой не что иное, как тождество Бьянки, которому удовлетворяет любой тензор G=DxB, независимо от того, является или нет поле B решением уравнений движения. Но если тензор G дуален, то, как показано в работе [ 219], из (43.5) следует соотношение (43.4).

Связь с проблемой вакуума возникает в силу того, что в евклидовом пространстве формула (43.1) для тензора энергии-импульса янг-миллсовских полей заменяется выражением вида

=-

1

2

^a,

G

_a

G

_a

-

G

_a

G

_a

,

(43.6)

которое в случае дуальных полевых конфигураций обращается в нуль: =0. Таким образом, дуальные поля G могут соответствовать нетривиальным вакуумным состояниям.

Другое свойство дуальных полей состоит в том, что они должны удовлетворять условию минимума евклидова действия, для которого можно написать

A

=

1

4

d

⁴

x

G

_a

G

_a

=

1

4

d

⁴

x

1

2

(

G

_a

±

G

_a

)^2±

G

_a

G

_a

>=

1

4

d

⁴

x

GG

.

(43.7)

Таким образом, действие является положительно определенной величиной, достигающей минимума в случае дуальных полей, когда справедливо равенство

A

=

1

4

d

⁴

x

G

_a

G

_a

=

1

4

d

⁴

x

 

^,,a

(

G

_a

)^2.

(43.8)

Но по крайней мере в условиях, когда справедливо квазиклассическое ВКБ-приближение, известно, что амплитуда туннелирования определяется величиной exp(-A), поэтому в ведущем порядке эффект туннелирования, если он существует, определяется дуальными полевыми конфигурациями.

Мы уже упоминали о "нетривиальных вакуумных состояниях". Нетрудно убедиться, что существуют такие ненулевые значения глюонных полей B, для которых G=0. В самом деле, поля общего вида, удовлетворяющие этому условию, называются чистой калибровкой; их можно получить из тривиальных полевых конфигураций B=0 калибровочными преобразованиями. Чтобы убедиться в этом, запишем конечное калибровочное преобразование в виде

B

^a

(x)

->

B'

^a

(x)=2Tr t

^a

U

^-1

(x)t

^b

U(x)B

^b

(x)

-

2

ig

Tr t

^a

U

^-1

(x)

U(x)

(43.9)

(ср. с формулой (3.1)). Здесь U(x) - любая зависящая от пространственно-временной точки x матрица, удовлетворяющая условиям U⁺(x)=U^-1(x), det U(x)=1. Но если B=0, то преобразованное поле B' имеет вид

B'

^a

(x)=-

2

ig

Tr t

^a

U

^-1

(x)

U(x).

(43.10)

Калибровочная инвариантность тензора напряженности глюонных полей G_a обеспечивает равенство G'=G=0. Нетривиальными будут решения, для которых G/=0.

§ 44. Инстантоны

Будем искать евклидовы полевые конфигурации, ведущие к дуальному тензору напряженностей G. Для упрощения обозначений предполагаем суммирование по повторяющимся или опущенным цветовым индексам.

Нас интересуют поля, приводящие к конечному значению действия. Это означает, что мы требуем, в частности, выполнения условия

 

lim

^x->

|x|^2

G

(x)=0,

(44.1)

где евклидова длина определяется формулой

|x|+

₄

⁼¹

(x

)

²

1/2

.

Пусть матрица U(x) осуществляет калибровочное преобразование, т.е. является матрицей размерности Зх3, для которой det U=1 и det U^-1=U⁺. Условие (44.1) будет выполнено, если при больших значениях x глюонное поле B представляет собой результат калибровочного преобразования, проведенного над нулевым полем, т.е. асимптотически является чистой калибровкой. Таким образом,

B

^a

 

->

^|x|->

-2

ig

Tr t

^a

U

^-1

(x)

U(x)

B

^a

 

->

^|x|->

0,

(44.2)

Попробуем рассмотреть анзац

B

_a

=(|x|^2)

B

_a

,

B

_a

=

-2

ig