Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Tr t

^a

U

^-1

U,

 

->

^|x|->

1.

(44.3)

Поучительно проверить, что тензор напряженностей G, соответствующий полям B, равен нулю. С этой целью определим матрицы

B

t

^a

B

_a

,

G

t

^a

G

_a

.

(44.4а)

Очевидно, справедливы соотношения

B

_a

=2Tr t

^a

B

,

G

_a

=2Tr t

^a

G

,

(44.4б)

G

=

B

-

B

-ig[

B

,

B

].

(44.4в)

Соотношения (44.4) справедливы, конечно, и в пространстве Минковского. Но если поле B описывается формулами (44.3), то оно имеет асимптотику

B

 

^|x|->

-

1

ig

U

^-1

U,

(44.5)

так что

G

 

^x->

1

-ig

{

(U

^-1

U)-

(U

^-1

U)}

-

-ig

1

-ig

^2

[U

^-1

U,U

^-1

U]

=

1

-ig

{-U

^-1

(

U)U

^-1

(

U)

+U

^-1

(

U)U

^-1

(

U)

+

1

-ig

[U

^-1

U,U

^-1

U]=0 .

Заметим, что члены второго и четвертого порядка по матрице U сокращают друг друга; множитель 1/g оказывается существенным в силу нелинейности тензора G. Это отражает непертурбативный характер решений.

Если U представляет собой элемент группы, который можно непрерывным образом связать с тождественным преобразованием, то тензор G обращается в нуль не только асимптотически: G=0. Поэтому необходимо рассмотреть такую матрицу U, которую нельзя представить в простой форме exp[it(x)]. Единственная возможность состоит в объединении пространственно-временных и цветовых индексов. Это оказывается допустимым только благодаря тому, что размерность пространства-времени равна четырем. Соответствующей группой инвариантности является группа SO(4), алгебра Ли которой (ее комплексная алгебра Ли) изоморфна произведению двух алгебр Ли группы SU(2). Таким образом, группу SO(4) можно связать с подгруппой SU(2) цветовой группы SU(3). Поэтому будем искать матрицу U в виде

U=

u

0

0

1

,

где u - матрица SU(2) размерности 2x2. Пусть

₄

=

1

0

0

1

,

- единичная матрица, а _i - матрицы Паули. Любую матрицу размерности 2x2 можно записать в виде суммы A=a. Если ввести обозначения ^a_i=-a_i, ^a₄=^a₄, то легко убедиться в справедливости равенств

a

^a

=

a

^a

и

det A=

a

^a

;

таким образом, мы получаем, что матрицу общего вида u можно записать в виде

u

_f

=

1

|f(x)|

{

₄

f

₄

(x)+i

f(x)}, f

_(x)

вещественно.

(44.6)

Полагая f(x)=x, получаем простейшее решение

u(x)=

1

|x|

(

₄

x

₄

+i

x).

(44.7а)

Пространственно-временные и цветовые индексы нетривиальным образом связаны друг с другом, поэтому для матрицы u нельзя использовать представление u(x)=exp[(i/2)(x)]. Как отмечалось выше, попытаемся представить глюонные поля в виде^53в)

^53в) Анзацы общего вида предложены в работах [78,266].

B

(x)

=

(|x|^2)

B

(x),

B

(x)

=

1

-ig

U

^-1

(x)

U(x),

U

=

u

0

0

1

.

(44.7б)

Полезно вспомнить, что, так как поле B является чистой калибровкой, отвечающее ему значение тензора напряженностей глюонных полей G равно нулю, поэтому

G

=

B

-

B

-ig[

B

,

B

]

=

(

)

B

-(

)

B

+(

B

-

B

)

-ig^2[

B

,

B

]

=

2'{x

B

-x

B

}

+(-^2)

{

B

-

B

};

'

=

d(|x|^2)

d|x|^2

.

Проще всего его получить, если заметить, что

B

_a

=-(2/g|x|^2)

_a

x

,

где тензор приведен ниже. Тогда

G

_a

=

4i^2

|x|^2g

'-

-^2

|x|^2

 

(

_a

x

x

-

_a

x

x

)

+

4i^2

|x|^2g

(-^2)

_a

.

Смешанный тензор определяется выражением

_a

=

_a4+_4a-_4a ,

0,

a=1,2,3

a=4,…,8.

(44.8)

Отметим, что этот тензор самодуален: =; следовательно, условие самодуальности тензора G выполняется в том случае, если функпия удовлетворяет уравнению

'-

-^2

|x|^2

=0,

т.е. глюонное поле B(x) имеет вид

B

(x)

=

|x|^2

|x|^2+^2

·

1

-ig

U

^-1

(x)

U(x), произвольно.

(44.9)

Это и есть инстатонное решение, найденное в работе [35]. Отметим, что оно локализовано в окрестности x0, т.е. в пространстве и во времени (отсюда и название "инстантон" - мгновенный). Из выражения (44.9) заменой x->x- можно получить решения, локализованные в окрестности произвольной пространственно-временной точки xy. В дальнейшем это окажется полезным. Выражению (44.9) можно придать большую наглядность, подставив в него выражение для матрицы U при этом мы найдем, что поле B вещественно:

B

_a

=

1

g

·

-2

|x|^2+^2

 

_a

x

.

(44.10)

Из вида тензора ц следует связь между пространственно-временными и цветовыми преобразованиями. Соответствующий тензор напряженностей имеет вид

G

_a

(x)=

1

g

·

-4^2

_a

(|x|^2+^2)

₂

 

.

(44.11)

Как и следовало ожидать, глюонные поля B и тензор напряженностей G при продолжении их в пространство Минковского оказываются сингулярными (и комплексными!) величинами, так как интервал x^2 не является уже положительно определенным, а следовательно, знаменатель x^2+^2 может обращаться в нуль. Замечательная особенность инстантонных решений состоит в том, что если глюонное поле B при больших x имеет асимптотику B1/|x|, то вследствие сокращения большого числа различных членов, входящих в выражение для тензора напряженностей G, последний обладает поведением G1/|x|⁴ и, таким образом, удовлетворяет требованию (44.1).

В дальнейшем мы будем использовать только решение (44.9); но имеются и другие решения^53г), найденные в работах [35, 66, 86]. Оказалось, что существует точная симметрия между самодуальными и антидуальными решениями: в антидуальных решениях, соответствующих (44.10), используется тензор

^53г) Решения с конечным значением действия, определенного в пространстве Минковского, и с бесконечными в эвклидовом пространстве.

_a

=

_a

, ,=1,2,3,

_a

=-

_a

или =4.

(44.12)

Такие решения называют антинстантонами.