Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

и т.д. Дополнительные соотношения для функций Грина можно найти в книге [40]⁵⁶⁾. Формулы фурье-преобразований распределений приведены в книге [135]. В тексте использованы формулы

⁵⁶⁾Наши причинные функции отличаются от причинных функций, введенных в книге [40], множителем i: S=iS_BD, D=iD_BD и т.д.

d

⁴

x e

^-ik·x

1

x^2±i0

=-4^2

i

k^2i0

,

d

⁴

x e

^-ik·x

1

(x^2±i0)^2

=-^2i log(k^2±i0)+ .

Одновременные коммутационные соотношения и коммутационные соотношения на световом конусе для фермионных операторов имеют вид

{q

_i

(x),q

_k

(x)}=0; (x

⁰

-y

⁰

){q

_i

(x),

_k

(y)

⁺

}=

_ik

(x-y),

{q

(x),

q

(0)}

 

^{x^2->0}

(

-im)

1

2

(x

⁰

)(x

²

)

-

m

4x^2

(x^2)(x

²

)+…

.

Приложение Ж. Кинематика, сечения рассеяния и скорости распадов

Векторы состояния, описывающие частицу со спиральностью и импульсом p, нормированы следующим образом⁵⁷⁾:

⁵⁷⁾ При этом трансформационные свойства произвольного поля таковы: U(a)(x)U^-1(a)=(x+a), U(a)=e^iPa

p','|p,=2p

⁰

(p

-p

'),

P

|p,=p

|p,.

Это соответствует плотности частиц на единицу объема

(p)=

2p⁰

(2)³

.

Амплитуда рассеяния T связана с S-матрицей соотношением

S=1+iT, f|T|i=(P

_f

-P

_i

)F(i->f).

В случае, когда в начальном состоянии присутствуют две частицы с массами m₁ и m₁, сечение рассеяния имеет вид

d(i->f)=

2

₂

 

^1/2

(s,m

₂

¹

,m

₂

²

(P

_f

-P

_i

)|F(i->f)|^2

d

p

 

^f1

2p

₀

^f1

…

d

p

 

^fn

2p

₀

^fn

где введены обозначения

(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc, s=P

₂

ⁱ

.

В случае p₁+p₂->p'₁+p'₂ приведенная выше формула принимает вид

d(i->f)

dt

=

₃

 

(s,m

₂

¹

,m

₂

²

)

|F(i->f)|^2,

d

d

_em

=

_^2

^4s

·

_q'

^q

|F(i-f)|^2,

(i-all)

=

[4^2/

^1/2

(s,m

₂

¹

,m

₂

²

)]Im F(i->i).

Здесь использованы обозначения

t=(p

₂

-p'

₂

)^2, q=|p

_{1 em}

|=

^1/2

(s,m

₂

¹

,m

₂

²

)

2s

_1/2

 

,

q'=|p'

_{1 em}

|=

^1/2

(s,m'

₂

¹

,m'

₂

²

)

2s

_1/2

 

,

_em

(

_em

,

_em

), d

=dcosd

Аналогично скорость распада можно выразить в виде⁵⁸⁾

⁵⁸⁾ Все формулы справедливы как дпя нетождественных, так и для тождественных частиц. Но при вычислении полных ширин полученное выражение необходимо разделить на число тождественных перестановок. Например, если мы интегрируем по импульсам j тождественных бозонов или фермионов, то полученное выражение нужно разделить на j!.

d(i->f)=

1

4m₁

(P

_i

-P

_f

)|F(i->f)|^2

dp

 

^f1

2p

₀

^f1

…

dp

 

^fn

2p

₀

^fn

, P

_i

=

m_i

0

.

Всюду используются единицы, в которых h=c=1. Приведем некоторые полезные формулы перехода к другим системам единиц:

1 МэВ^-1=1,973·10^-11см=6,582·10^-22с.

1 ГэВ^-2=0,3894 мбарн.

1 МэВ=1,783·10^-27 г= 1,602·10^-6эрг.

1 см=5,068·10¹⁰МэВ^-1, 1 с — 1,519·10²¹ МэВ^-1.

1 мбарн = 2,568 ГэВ^-2.

1 г = 5,610·10²⁶МэВ, 1 эрг = 6,242·10⁵ МэВ.

Приложение 3. Функциональные производные

Функционал представляет собой отображение пространства достаточно гладких функций {f(x)} в пространстве комплексных чисел:

F:f->F[f].

Отметим, что отображение F не обязательно должно быть линейным. Таким же образом мы будем трактовать и функционалы от нескольких функций F[f,g,…]. Функционалы можно рассматривать как обобщение понятия обычной функции в следующем смысле. Разобьем пространство значений⁵⁹⁾ x на N ячеек, и пусть в каждой ячейке находится единственное значение x_j. Тогда функционал F[f] представляет собой предел, к которому стремится функция F_N(f₁,…,f_j,…), где f_jf(x_j), при стремлении размера ячейки к нулю. Производная F_N/f_j определяется формулой

⁵⁹⁾ Мы берем это пространство таким, что оно имеет конечный размер L. Иначе необходимо выполнить дополнительный предельный переход L->

F_N(f₁,…,f_j…)

f_j

=

 

lim

^->0

F_N(f₁,…,f_j+,…) - F_N(f₁,…,f_j,…)

,

т.е. Она может быть получена сдвигом f_i->f_i+_ij. Поэтому мы определяем функциональную производную как предел

F[f]

f(y)

=

 

lim

^->0

F[f+_y]-F[f]

,

где _y есть -функция, обращающаяся в бесконечность в точке y: _y(x)=(x-y). Важный частный случай представляет собой функционал, задаваемый интегралом

F[f]=

dx K

_F

(x)f(x);

тогда функциональная производная имеет вид

F[f]

f(y)

=K

_F

(y).

Понятие ряда Тейлора можно обобщить и на функциональные ряды. Если ядра K_n — симметричные (или антисимметричные в случае фермионных переменных f) функции своих аргументов, то легко убедиться, что для функционала

F[f]=

ⁿ⁼⁰

1

n!

dx

₁

…dx

_n

K

_n

(x

₁

,…,x

_n

)f(x

₁

)…f(x

_n

),

n-я функциональная производная имеет вид

K

_n

(x

₁

,…,x

_n

)=

ⁿF[f]

f(x₁)…f(x_n)

.

Процедурой, связанной с функциональной производной, является функциональное интегрирование. Функциональный интеграл определяется формулой

 

^x

df(x) F[f]

 

lim

^N->

df

₁

…df

_N

F

_N

(f

₁

,…,f

_N

).

Как и в случае функционального дифференцирования, процедура функционального интегрирования подчиняется правилам, аналогичным правилам выполнения обычного интегрирования. При функциональном дифференцировании и при функциональном интегрировании, чтобы учесть антикоммутационный характер функций f, требуется некоторая модификация приведенных выше соотношений. Эта модификация описана в § 39.