Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Функциональные производные от выражений, не содержащих интегралы, можно найти, переписав их в интегральном виде. Например, легко вычислить функциональную производную, фигурирующую в формуле (41.9), для которой результат имеет вид

B

 

^a

(x)

B

^b

(y)

=

B

^b

(y)

x

 

^c

d

⁴

z (z-x)

_ac

B

^c

(z)

=

_ab

x

(x-y).

Приложение И. Калибровочно-инвариантное произведение операторов

Интуитивно ясно, что в калибровочных теориях в выражениях, подобных выражениям, возникающим в методе операторного разложения:

q

(0)q(x)=

x^₁…x^_n

n!

q

(0)

₁

…

_n

q(0),

обычные производные следует заменить на ковариантные производные:

->D. Здесь мы кратко приводим формальное доказательство того, как возникают такие замены. В случае взаимодействующих полей их пропагаторы не являются пропагаторами свободных частиц. Например, пропагатор фермиона, помещенного в глюонное поле, удовлетворяет уравнению

(i

D

-m)S

_int

(x,y)=i(x-y),

которое получается непосредственно из лагранжиана. Сохраняя только наиболее сингулярные члены (члены низшего твиста), решение этого уравнения можно записать в виде

S

_int

(x,y)

P exp i

^x

 

_y

dz

t

^a

B

^a

z

S(x-y),

где S - пропагатор свободного фермионного поля, а P — упорядочение вдоль траектории, соединяющей точки x и y. Если теперь выполнить операторное разложение, учитывая указанные обстоятельства, то окажется, что вместо произведения операторов q(x)q(y) возникает калибровочно-инвариантная комбинация

q

(x)

P exp i

^x

 

_y

dz

t

^a

B

^a

(z)

q(y),

разложение которой в ряд в случае xY и приводит к рассмотренным выше членам, содержащим вместо обычной ковариантную производную. Конечно, это справедливо и для операторов, построенных из глюонных полей. Дополнительные сведения о калибровочно-инвариантных произведениях операторов см. в статьях [106, 269].

Литература

Abad J., Humpert В., Phys. Lett., B77, 105 (1978).

Abarbanel H.D., Goldberger M.L., Treiman S.B., Phys. Rev. Lett., 22, 500, (1969).

Abbott L.F., Nucl. Phys., B185, 189 (1981).

Abbott L.F., Atwood W.B., Bamett R.M., Phys. Rev. D22, 582 (1980).

Abramowicz М., Stegun I.E., Eds. Handbook of Mathematical Functions. — New York: Dover, 1965 [Имеется перевод: Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами /Под ред. М.Абрамовица и И.Стиган. — М.: Наука, 1979.]

Adler S.L., Phys. Rev., 143, 1144 (1966).

Adler S.L., Phys. Rev., 177, 2426 (1969).

Adler S.L. — In: Lectures in Elementary Particle and Quantum Field Theory (Deser, Grisaru and Pendleton, eds.), MIT Press, 1971.

Adler S.L.

, Bardeen W.A., Phys. Rev., 182, 1517 (1969).

Ali A., Phys. Lett., 110B, 67 (1982).

Altarelli G., Phys. Reports, B1C, 1 (1982).

Altarelli G., Parisi G., Nucl. Phys., B126, 298 (1977).

Altarelli G., Ellis R.K., Martinelli G., Nucl. Phys., B143, 521 (1978); Erratum, B146 , 544 (1978).

Altarelli G., Ellis R.K., Martinelli G., Nucl. Phys., В 157, 461 (1979).

Amati D. et al., Nucl. Phys., B173, 429 (1980).

Anderson H.L. et al., Phys. Rev., D20, 2645 (1979).

Applequist Т., Carrazzone J., Phys. Rev., Dll, 2865 (1975).

Applequist Т., Georgi H., Phys. Rev., D8, 4000 (1973).

Applequist Т., Politzer H.D., Phys. Rev.. Lett., 34, 43 (1975).

Aubert J.J. et. al., Phys. Lett., 105В, 315 (1981).

Baluni V., Phys. Rev., D19, 2227 (1979).

Barbieri R. et al., Phys. Lett., 57B, 455 (1975).

Barbieri R. et al., Nucl. Phys., В117, 50 (1976).

Barbieri R. et al., Nucl. Phys., B154, 535 (1979).

Bardeen W.A., Nucl. Phys., B75, 246 (1974).

Bardeen W.A., Вuras A.J., Phys. Rev., D20, 166 (1979).

Bardeen W .A. et al., Phys. Rev., D18, 3998 (1978).

Barger V.D., Cline D.B., Phenomenological Theories of High Energy Scattering. — New York; Benjamin, 1969.

Barnett R.M., Dine М., McLerran L., Phys. Rev., D22, 594 (1980).

Bartels J. — In: Qnantum Chromodynamics (Alonso and Tarrach, eds.) — Berlin: Springer, 1979.

Baulieu L. et al., Phys. Lett., 81B, 224 (1979).

Becchi C., Rouet A., Stora R., Phys. Lett., 52B, 344 (1974).

Becchi C., Rouet A., Stora R., Commun. Math. Phiys., 42, 127 (1975).

Becchi C. et al., Zs. Phys., C8, 335 (1981).

Белавин A. и др., Phys. Lett., 59B, 85(1975).

Bell J.S., Jackiw R., Nnovo Cimento, 60A, 47 (1969).

Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. — М.: 1965.