Квантовый ум. Грань между физикой и психологией

Возьмем путешествие из Портленда (в точке A) в Цюрих (в точке B). Поскольку Портленд находится на широте, скажем, 46 градусов, вы могли бы подумать, что кратчайший путь до Цюриха должен, по большей части, проходить прямо вдоль 46-й параллели. Но это не так. Кратчайший путь проходит над вершиной земного шара не потому, что Земля там приплюснута, а из-за геодезических линий. Если бы вы нашли время, чтобы промерить расстояние шагами, то обнаружили бы, что кратчайший путь на земном шаре из одного места в другое идет по большой дуге, центр которой лежит в середине Земли. Или, еще лучше, вы могли бы протянуть вокруг Земли проволоку. Тогда вы могли бы доказать, что кратчайшие пути на сферах идут по геодезическим линиям, а не прямо по параллелям или меридианам.

Теперь оставим Землю и подумаем о пространстве окружающей нас Вселенной. Если бы вы могли взлететь с Земли как космонавт, а потом падать обратно, то падали бы через космическое пространство. Но вы бы не падали на Землю по прямой линии; путь вашего падения был бы криволинейным. Это обусловлено тем, что вблизи Земли Вселенная искривляется, и тем, что кратчайший путь через искривленное пространство идет по геодезической линии, которая изгибается тем сильнее, чем ближе вы подлетаете к Земле, где тяготение самое сильное². Тяготение искривляет пространство.

По мнению большинства астрономов, Вселенная настолько искривлена, что если бы вы могли видеть по-настоящему далеко и смотрели в пространство, то, в конце концов, увидели бы собственную спину! Или если бы вы могли протянуть руку по-настоящему далеко, то она легла бы на ваше собственное плечо! Это звучит почти как психология: куда бы вы ни посмотрели, вы видите самого себя. Если вы тянетесь вовне к другим, то касаетесь именно себя.

Мнимая геометрия

Эйнштейн понимал, что для описания Вселенной ему нужно нечто большее, чем евклидова геометрия, но не знал, где это найти. К счастью, у него были хорошие друзья, учившие его математике, в которой он нуждался. Он обнаружил, что математики уже давно думали о криволинейном пространстве. Одним из первых, кто математически экспериментировал с новыми пространствами, был русский математик Николай Лобачевский (1793-1856). Лобачевский открыл, что, если ввести в геометрию мнимые числа, можно было бы создать то, что он назвал «мнимой геометрией».

Его геометрия оказалась тем, что теперь называют «гиперболической геометрией», но в то время он этого не знал. Сегодня нам известно, что он открыл геометрическое пространство, которое выглядит наподобие граммофонной трубы. В 1929 г. он создал первую неевклидову геометрию, нарушив строгое евклидово правило того времени, согласно которому параллельные линии на плоской или квадратной поверхности никогда не пересекаются.

Кривые Римана

Затем Эйнштейн узнал о немецком математике Георге Фридрихе Бернхарде Римане, который пошел в создании криволинейной геометрии дальше Лобачевского. В 1854 г. он вообразил, что пространство может быть искривленным. По сути дела, он разработал именно ту математику, которую Эйнштейн позднее использовал в теории относительности.

У Римана была короткая и потрясающая жизнь. Судя по всему, ему потребовалось всего шесть месяцев, чтобы создать свою новую геометрию. Риман проделал собственный мысленный эксперимент, спросив себя: «Что произойдет, если поместить над землей факел? Если держать факел на высоте 50 миль над землей и если там есть небольшая дымка, то как бы выглядел факел для нас на Земле?» Он думал, что от факела в дымке должен быть ореол, и его интересовало, будет ли ореол совершенно круглым. Его также интересовало, как измерять этот круг. Можно ли использовать формулу Евклида для измерения периметра круга? Эта формула – 2 x x r, где  (или «пи») примерно равно 3,14, а r – это радиус круга.

Рис. 28.6. Мысленный эксперимент Римана: если факел, находящийся на высоте 50 миль над Землей, создает ореол, то каков его размер?

Риман вообразил, что он может измерить ореол в той эфирной дымке, чтобы проверить, действительно ли периметр круга соответствует формуле 2 x x r. Согласно его мысленному эксперименту, ореол, если бы его можно было измерить, не обязательно был бы правильным кругом.

Меня поражает, что у Римана хватило смелости и способностей, чтобы сомневаться в том, что периметр круга был бы равен 2r! Это все равно, что сомневаться в формуле 2 х 2 = 4.