Личность и Абсолют

b) Становлению должен быть поставлен предел. В модуле это делается путем т. н. полной системы вычетов. Чтобы усвоить диалектическое значение вычетов, обратим внимание на то, что математики в применении к модулю говорят не о ряде рядов, но о ряде классов, пbнимая под классом совокупность чисел, равноостаточных при делении на число модуля. Тогда, имея какое–нибудь число а, мы можем сказать, что всякое другое число того же класса есть вычет числа а по модулю т. Кроме того, как ясно видно из примера, приведенного в § 124, п. 2а, для каждого модуля т имеется и т разных классов. А так как судить о классе можно по любому его числу, то проще всего судить по наименьшему вычету. Система представителей всех классов и есть полная система вычетов. Если, напр., модуль =10, то полной системой вычетов может служить ряд 0, 1,2,…, 9. С диалектической точки зрения полная система вычетов определяет собою границы возможных типов становления всей системы. Она определяет собою, сколько классов и какие классы чисел входят во всю систему модуля. Остается, след,;? чтобы все классы были реально построены согласно этой системе вычетов, и—мы получаем всю систему модуля как арифметически выразительную форму. Внутренняя структура модуля, т. е. первоначальный ряд кратных разностей, включается внешнесмысловым образом в виде различных классов чисел, точно зафиксированных по абсолютному значению чисел. Но внутренно–внешняя смысловая форма есть выражение.

2. а) В § 123, п. Зb, мы имели также указание на понятие кольца. Кольцо есть система с двойной композицией, так как оно является системой элементов, из которых каждая пара однозначно определяет их сумму и их произведение, причем эта сумма и это произведение тоже принадлежит к системе. Как и в отношении понятия группы (§ 124), эта композиционная структура кольца есть результат его перво–принципа, его принципа (структуры) и его становления. В наличном бытии кольца мы находим различные законы сложения и умножения элементов (коммутативность умножения необязательна), дающие возможность строить отдельные «классы» в пределах кольца. Тут необходимо заметить, что когда произведение равно нулю, то это еще не значит, что один из сомножителей всегда равен нулю. Когда ни один сомножитель не равен нулю (при произведении их =0), то они называются делителями нуля (пример: пары чисел, когда сложение и умножение этих пар определяется комплексно, образуют кольцо с делителями нуля). Если этих делителей нуля нет и кольцо коммутативно, его называют областью целостности.

Что касается, наконец, выразительного момента в понятии кольца* то, как и в категории группы (§ 124), мы имеем здесь элемент–единицу и обратный элемент. Но только эта единица налична здесь отнюдь не всегда. Так, целые числа образуют кольцо с единицей, а четные— кольцо без единицы.

b) Если от понятия кольца перейти к его реальной структуре, то тут мы сталкиваемся сначала с понятием подкольца, т. е. нового кольца, входящего в состав данного кольца, а потом с очень важным понятием идеала, вполне аналогичным понятию нормального делителя в группе. Если в состав данного кольца входит такая совокупность элементов, что из вхождения в нее двух элементов следует вхождение в нее и их произведения и что в нее же входит и произведение одного из ее элементов на произвольный элемент кольца, то такая совокупность называется идеалом кольца. Если оставить в стороне нулевой идеал (состоящий только из нуля) и единичный идеал (содержащий все элементы кольца), то идеалом, порожденным через элемент а, мы называем идеал, состоящий из всех элементов вида га+па, где г—элемент кольца, а —вообще целое число. Это есть наименьший идеал, содержащий а, потому что во всякий идеал (а) по крайней мере входят все кратные га и все суммы ±=. Идеал (а) есть пересечение всех идеалов, содержащих а. Идеал (а) называется главным идеалом. Идеал вообще может порождаться и несколькими элементами.