Личность и Абсолют

Менее интересен орнамент рис. 24 с основной фигурой, обладающей вращением на 90° и четырьмя осями отражения, которые проходят через ее центр, наподобие креста с равными концами. Здесь, так сказать, слишком «буквальные» отражения. Гораздо сложнее зато орнамент на рис. 25. Тут основная фигура возникает из фигуры с вращением в 90° через отражение относительно оси, не проходящей через центр. Оси симметрии, параллельные к сторонам квадратов, являются осями отражения, но только они не проходят через неподвижные точки вращений, проходя посредине между ними. Обе совокупности других осей состоят только из осей скользящего отражения. Решетка переносов здесь тоже квадратная, хотя ее и не сразу видно (нужно повернуть рисунок на 45 ^°, и тогда станет заметным квадрат со сторонами, проходящими через четыре средние точки). В орнаментах это обычно. В заключение прибавим еще два примера из восточного искусства, Один 

[922], рис. 26, — это группа вращений в 60° с 6 складными …. [923]

осями. Основной фигурой является здесь нечто вроде бантика трилистника, который, однако, не сразу выделяется. Этот замечательный образец относится к XIV в. (мечеть в Каире). Другой такой же замечательный образец восточной орнаментики  [924]—рис. 27. Основную фигуру и тут не сразу рассмотришь—простой крест с 16–кратной симметрией. Тут мы находим группу вращений в 90°, потом четыре вида осей отражения, потом еще восемь дальнейших симметрий, соединенных с отражениями, т. е. скользящие отражения в плоскости, которые перемещают один на место другого оба ряда лежачих крестов. Что же касается вращений, то тут мы находим вращательные отражения вокруг центров розеток с углами в ±90°; горизонтальные и вертикальные винтовые оси между розетками; две группы простых витых осей, повернутых на 45° по сравнению с предыдущими и проходящих через центр розеток; и вращательные отражения на 180° (пространственный центр симметрии) вокруг средних точек концов крестов.

3. Наконец, богатейший и интереснейший материал для теории групп дает кристаллография, где замечательный русский кристаллограф Федоров определил и вывел групповое строение кристаллов. В настоящее время можно говорить вообще о кристаллическом пространстве, в котором играют основную роль отражения и движения, лежащие в основе симметрии, аналогично с рассмотренными выше плоскими решетками. Группы, определяющие собою кристаллическое пространство, формулируются чисто теоретически, и само кристаллическое пространство получает вполне априорную структуру. Так выводится 32 кристаллических класса, таблицу которых можно найти в нижеуказываемом руководстве. Мы, однако, не станем приводить этот материал, потому что принципы групповой структуры достаточно иллюстрируются фактами плоской решетки.

[925]

§ 126. Модуль, кольцо, поле.

Выше, в § 123, п. Зb, были указаны все основные формы выразительного числа. Из них мы коснулись только группы. Остановимся вкратце и на прочих формах.

1. а) Когда разность каждых двух элементов совокупности принадлежит к самой совокупности, последняя носит название модуля. В § 124, п. 2а, для модуля был приведен простейший числовой пример. Без дальнейшего видно, что модуль есть элементарный вид ряда рядов и что поэтому является выразительной формой (как это вытекает из § 123). Также отчетливо видно, что здесь налицо вся наша пятиступенная диалектика. Перво–принципом модуля в узком смысле слова является, очевидно, композиционный принцип вычитания: это совокупность таких элементов, разность каждых двух из которых относится к самой совокупности. Принцип модуля (т. е. принцип его структуры) есть совокупность всех разностей, которые в нем возможны, потому что принцип есть первообразная структура перво–принципа, а эта совокупность и дает нам последовательный ряд всех возможных взаимоотношений, определяющих структуру модуля. Этот последовательный ряд тоже называется модулем. Здесь, следовательно, имеются в виду наименьшая разность двух элементов и все ее кратные. Говорится: два числа а и Ъ— сравнимы по модулю т, если разница (а—b) есть число модуля. Но если этот фундаментальный ряд разностей есть принцип, или бытие, модуля, то каждый реальный ряд чисел, входящий в модуль, есть уже становление модуля, так как каждый такой реальный ряд чисел есть постепенное и последовательное осуществление этих разностей.