Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

43 × 48 = (50 – 7)(50 – 2) = (50 × 41) + (–7 × –2) = 2050 + 14 = 2064

Отступление

В главе 1 мы использовали этот метод для чисел больше 100. Но он отлично работает и с меньшими величинами, например,

96 × 97=(100 – 4)(100 – 3) = (100 × 93) + (–4 × –3) = 9300 + 12 = 9312

Обратите внимание, что 96 + 97 = 193 = 100 + 93 (на деле я всего лишь сложил две последние цифры, 6 и 7, чтобы узнать, что сотню нужно умножать на число, заканчивающееся на 3 и, скорее всего, равное 93). Со временем, получив опыт, вы научитесь не обращать внимания на минусы и умножать не отрицательные числа, а их положительные «отражения». То есть

97 × 87 = (100 – 3)(100 – 13) = (100 × 84) + (3 × 13) = 8400 + 39 = 8439

Этот же метод можно применить к парам чисел, одно из которых чуть меньше, а другое – чуть больше 100, только в конце вместо сложения вам нужно произвести вычитание. Например,

109 × 93 = (100 + 9) (100 – 7) = (100 × 102) – (9 × 7) = 10 200 – 63 = 10 137

И опять же, число 102 можно получить двумя способами: либо из 109 – 7, либо из 93 + 9, либо из 109 + 93 – 100 (ну и четвертый вариант – сложить последние цифры начальных чисел: 9 + 3 скажут нам, что число будет заканчиваться на 2, и этой информации может быть вполне достаточно). Практикуясь, вы научитесь легко перемножать близкие друг к другу числа. Посмотрите на несколько несложных примеров с трехзначными числами. Имейте в виду, что a и b здесь числа, в которых больше одного знака.

218 × 211 = (200 + 18)(200 + 11) = (200 × 229) + (18 × 11) = 45 800 + 198 = 45 998

985 × 978 = (1000 – 15) (1000 – 22) = (1000 × 963) + (15 × 22) = 963 000 + 330 = 963 330

Поиски x

Чуть выше мы видели несколько примеров решения уравнений с помощью золотого правила алгебры. Если уравнение содержит только одно неизвестное (скажем, x) и обе его части – линейные (что значит, что в них есть х или кратные ему величины, но при этом это единственная их сложность – никаких x²), найти x несложно. Например, чтобы решить уравнение

9x

 – 7 = 47

мы можем к его левой и правой части сначала добавить 7 и получить 9x = 54, а потом разделить обе части на 9 и получить искомое: x = 6.

Или вот другой пример, чуточку сложнее:

5x+ 11 = 2x+ 18

Сначала мы упростим его, убрав из обеих частей 2x, а потом (ну или вместе с первым шагом, если хотите) 11, что приводит нас к

3x= 7

решением же будет x = 7/3. В конечном итоге любое уравнение можно свести к ax = b (или ax – b = 0) и его решению x = b/a (исходя из того, что a

≠ 0).

Ситуация немного запутывается, если мы имеем дело с квадратным уравнением (в котором на авансцене появляется x²). Самый простой вариант квадратного уравнения:

x² = 9

которое имеет два решения: x = 3 и x = –3. И даже когда правая сторона уравнения не является квадратом простого числа, вроде

x² = 10

у нас все еще есть два решения: x = √10 = 3,16… и x = – √10 = –3,16… В принципе, если n > 0, число √n – квадратный корень из n – обозначает положительное число с квадратом n. Если n не является квадратом целого числа, √n легче всего посчитать на калькуляторе.