Математические головоломки

Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах… И действительно, так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Только основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях.

Положим, что нота do самой низкой октавы – будем ее называть нулевой октавой – определена n колебаниями в секунду. Тогда do первой октавы будет делать в секунду 2п колебаний, а т-й октавы n · 2m колебаний и т. д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами р, принимая основной тон do каждой октавы за нулевой; тогда, например, тон

sol будет 7-й, la будет 9-й и т. д.; 12-й тон будет опять do, только октавой выше. Так как в темперированной хроматической гамме каждый последующий тон имеет в большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой

Логарифмируя эту формулу, получаем:

или

а принимая число колебаний самого низкого do за единицу (n = 1) и переводя все логарифмы к основанию, равному 2 (или попросту принимая lg 2 = 1), имеем:

Отсюда видим, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков^[15]. Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве^[16] – мантиссу этого логарифма».

Например, – поясним от себя, – в тоне sol третьей октавы, т. е. в числе , число 3 есть характеристика логарифма числа колебаний этого тона, а – мантисса того же логарифма при основании 2; число колебаний, следовательно, в 2^3,583, т. е. в 11,98, раза больше числа колебаний тона

do первой октавы.

Звезды, шум и логарифмы

Заголовок этот, связывающий столь, казалось бы, несоединимые вещи, не притязает быть пародией на произведения Козьмы Пруткова; речь в самом деле пойдет о звездах и о шуме в тесной связи с логарифмами.

Шум и звезды объединяются здесь потому, что и громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом – по логарифмической шкале.

Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т. д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Звезда, например, третьей величины ярче звезды первой величины в 2,5^3,5833–1, т. е. в 6,25 раза. Короче говоря, оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5. Не останавливаюсь здесь подробнее на этих интересных соотношениях, так как им уделено достаточно страниц в другой моей книге – «Занимательная астрономия».

Сходным образом оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит «бел», практически – его десятая доля, «децибел». Последовательные степени громкости – 1 бел, 2 бела и т. д. (практически – 10 децибел, 20 децибел и т. д.) – составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же «сила» этих шумов (точнее – энергия) составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

Дело станет яснее, если рассмотрим несколько примеров.

Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в 6,5 бела, рычанье льва – в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в

10^6,5–1 = 10^5,5

= 316 000 раз;

львиное рычанье сильнее громкой разговорной речи в

10^8,7–6,5 = 10^2,2 = 158 раз.

Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превосходится: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка в стальную плиту порождают шум в 11 бел. Шумы эти в 100 и 1000 раз сильнее допустимой нормы и в 10—100 раз громче самого шумного места Ниагарского водопада (9 бел).

Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, то и другое – следствие общего закона (называемого «психофизическим законом Фехнера»), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.

Логарифмы в электроосвещении

ЗАДАЧА