Математика и искусство

Известны три древнеегипетских канона : первый канон эпохи Древнего царства, приписываемый Имхотепу (XXVIII в. до н. э.), слагает рост человека из 6 ступеней ноги; второй — эпохи Среднего и Нового царства (XXI-XII вв. до н. э.) разбивает каждую ступню еще на три части и таким образом составляет рост человека из 18 единиц; третий канон позднего периода[31] (XI-IV вв. до н. э.) складывает рост человека из 21 части с четвертью. Текст египетских канонов не сохранился, хотя в дошедшем до нас каталоге храмовой библиотеки в Эдфу под шестым номером значится трактат "Предписание для стенной живописи и канон пропорций". Легко видеть, как с течением времени усложнялся древнеегипетский канон, хотя и на такие ничтожные для современника "уточнения" потребовалось ни много ни мало 2500 лет!

Да, мерно, как воды Нила, текло время в Древнем Египте. И столь же неторопливым, статичным было египетское искусство. Более того, следование раз и навсегда принятым канонам, в том числе и художественным, неизменность всего сущего были своего рода философией древнеегипетского общества. И эта философия оцепенения мастерски воплощена древним художником в камне. Впрочем, для нас важно другое: почти за 3000 лет до н. э. изобразительное искусство подверглось математическому анализу и анализ этот был весьма объективен, коль скоро он устраивал древнеегипетских художников на протяжении тысячелетий. Только в математических закономерностях и можно было на века сохранить художественные каноны.

Вера египтян в универсальность математического знания отражена в одном из математических папирусов, который начинается словами: "Точное сложение — врата в знание всех вещей и мрачных тайн". А вера в универсальность канона доходила до того, что один и тот же канон египтяне применяли как в живописи, так и в архитектуре. Сетка квадратов, применявшаяся с равным успехом и в ваянии, и в зодчестве, была у египтян математической основой, организующей изображение. Меняться могли лишь абсолютные размеры этой сетки, само же изображение, его пропорции оставались неизменными.

Сетка квадратов 21¹/₄ X14 — канон древнеегипетского искусства, применявшийся как в живописи, так и в зодчестве

Сетка квадратов 21¹/₄X14 — канон древнеегипетского искусства, применявшийся как в живописи, так и в зодчестве

Но и внутри сетки положение фигуры строго регламентировалось математическими законами. Рассмотрим одно геометрическое построение, которое, как полагают, было известно древним египтянам. Стороны квадрата ABCD разделим в золотой пропорции точками Е_i (i = 1, 2,..., 8). (Это легко сделать, разбив данный квадрат на четыре квадрата и в каждом двойном квадрате выполнив построения, указанные на рисунке, с. 265.) Из вершины квадрата проведем в точки деления по две "диагонали". В результате образуется восьмиконечная звезда, внутри которой заключены два малых квадрата, образующих звездчатый восьмиугольник. Соединяя через одну точки пересечения малых квадратов, построим меньший квадрат со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата. В последнем квадрате всю процедуру можно повторить. Таким образом, получится созвездие вписанных друг в друга восьмиконечных звезд, столь же красивое, как и созвездия пятиконечных и десятиконечных звезд, которые мы наблюдали на рисунках (с. 206).

Не будем перегружать рисунок дополнительными построениями и лишать любителей математики удовольствия самим найти на чертеже две гаммы треугольников, подобных прямоугольным треугольникам АВЕ₂ и AFH. Отметим лишь, принимая сторону исходного квадрата за единицу, главное. В ΔАВЕ₂ АВ = 1, BЕ₂ = φ, АЕ₂ = √1 + φ² = ψ. В ΔABF ~ ΔАВЕ₂

AF = ¹/_ψ, BF = ^φ/_ψ, AB = 1. Из ΔABF и ΔBFG, имеющих общую сторону BF, можно найти элементы ΔBFG: BF = ^φ/_ψ, FG = ^φ/_2ψ ,BG = ^ψ/₂, а значит, и элементы ΔAFH: AF = ¹/_ψ, FH = ¹/_2ψ, АH = ^ψ/_2φ. (Напомним, что φ = (√5 — 1)/2 и при выводе соотношений в треугольниках используется аддитивное свойство ряда золотого сечения: 1 = φ + φ², φ = φ² + φ³, ... .)

Продолжая рассмотрение подобных треугольников, легко увидеть, что отношения соответствующих элементов треугольников, подобных ΔABE₂, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию :

(19.1)

а отношения соответствующих элементов треугольников, подобных ΔAFH, образуют прогрессию:

(19.2)

Кроме того, имеют место комбинации двух основных типов прогрессий, а именно прогрессии вида

(19.3)

Итак, построения рисунка дают нам не только ряд золотого сечения (19.2), но и гамму геометрических прогрессий вида

(19.4)

соответствующие члены которых также находятся в золотой пропорции.

Любопытно, что в Заметим также, что в

Таким образом, меньшие углы в треугольниках ΔВЕ₂ и AFH почти равны; следовательно, эти треугольники почти подобны, а углы исходного квадрата делятся "диагоналями" почти точно на три части. Итак рассмотренное построение дает нам прекрасный пример приблизительной симметрии (см. гл. 4).